Ответ №14

Производная функции, заданной неявно

Уравнение вида , содержащее переменные и , иногда можно разрешить относительно и получить в явном виде зависимость . Например, если дано уравнение , то из него можно получить зависимость . Однако такое явное выражение через , использующее лишь элементарные функции, можно получить не из любого уравнения вида (даже если в самом уравнении участвуют лишь элементарные функции). Например, хотя уравнение

задаёт некоторую зависимость от , но выразить её из уравнения "в явном виде" не удаётся. Тем не менее, некоторую информацию об этой зависимости мы можем получить, и не выражая через . Например, в случае приведённого выше уравнения, поскольку значения , ему удовлетворяют, мы можем утверждать, что график этой зависимости проходит через точку плоскости .

Покажем, как, используя уравнение , найти производную , не выражая через в явном виде. Для этого найдём производные левой и правой части уравнения по переменной , считая промежуточным аргументом, а потом выразим из получающегося равенства.

Поясним сказанное на примере.

Пример 4.24 Возьмём то же уравнение и найдём производную левой части (производная правой части, очевидно, равна 0). Имеем:

Слагаемые, содержащие , оставим в левой части, а остальные перенесём направо:

откуда

Получили выражение для производной , содержащее, правда, не только , но и в правой части. Однако, несмотря на это, полученное выражение можно использовать для решения различных задач, связанных с производной. Например, можно решить такую задачу: найти для кривой, заданной уравнением , уравнения касательной и нормали, проведённых в точке . Действительно, при мы получаем , так что нам теперь известен угловой коэффициент касательной: . Точка касания дана условием задачи. Поэтому уравнение касательной таково:

или

а уравнение нормали -- таково:

или