Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть — некоторая функция, — ее производная. Для удобства будем записывать производную виде , имеющем смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал — приращение значения переменной в окрестности , стремящееся к нулю. Дифференциал функции — малое приращение функции, . Пусть и — некоторые функции от и . Рассмотрим уравнение
.
Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением сразделяющимися переменными. Умножим его на :
.
Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от до для левой части и от для для правой части уравнения:
.
Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить .
Значения и называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных — , где —первообразная , — произвольная постоянная, запишем это в виде
.
Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные , удовлетворяющие уравнению . При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 180 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!