Двустороннее преобразование Лапласа

Основная статья: Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

11 вопросы по теме «обыкновенные дифференциальные уравнения».

11.1

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую перемен-

ную, её функцию и производные различных порядков этой функции.

Общий вид дифференциального уравнения n-ого порядка:

F(x,y,y′,y”.yв степени (n)) = 0

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной в него входящей.

Определение 2. Любая функция y′(x), которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению, т.е. обращает его в тождество при замене y и его производных на ɥ(x) и её произ-

водные называется решением дифференциального уравнения.

Замечание 1. Если искомая функция y ′=ɥ(x) зависит от одной переменной то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Замечание 2. Если искомое решение получено в неявном виде, то это интеграл уравнения.

График решения обыкновенного дифференциального уравнения I - ого порядка называется интегральной кривой этого уравнения.Термин проинтегрировать дифференциальное уравнение означает найти те или иные его решения.

11.2

Общим решением дифференциального уравнения (1) называется такое его решение:

y (x,C,C,...,Cn), которое содержит столько независимых произвольных постоянных

C1, C2,Cn,..., каков порядок этого уравнения.Если общее решение задано в неявном виде

Ф(x,y,C1,C2,...,Cn) = 0, то его называют общим интегралом.

Дифференциальные уравнения первого порядка.Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:

F(x,y, у′)) = 0 (2) или y′ f(x,y) - форма дифференциального уравнения разрешённого относительно производной,

M(x,y)dx  N(x, y)dy = 0 - форма дифференциального уравнения в дифференциалах.

Определение 1. Общим решением дифференциального уравнения (2) называется такая функция ɥ(x,C) двух

аргументов x и C, которая при постоянном C рассматривается как функция одного перемен-

ного. Решения ɥ(ч,C0), которые получаются из общего решения ɥ(x,C) при нахождении постоянной C = C0

, называются его частными решениями.

бесконечного семейства интегральных кривых выделяется одна инте-

гральная кривая, которая соответствует частному решению диффе-

ренциального уравнения. Это означает наличие начального условия.

Замечание 1. Если решение дифференциального уравнения не

может быть получено из общего ни при каких начальных условиях

оно называется особым.