Корреляционное отношение и теснота статистической связи

Корреляционное отношение. Пусть СВ зависит в основном от фактора и некоторого остаточного (небольшого по величине) фактора в виде СВ , которая влияет на , но не на .

Характеристикой общей изменчивости СВ является её дисперсия . В эту величину вносят вклад фактор и СВ . При фиксированном дисперсия характеризует влияние на остатка , а её среднее значение характеризует влияние в целом остатка на . Обозначим .

Математическое ожидание – это центр группирования значений СВ при , – общий центр группирования . Поэтому разброс групповых центров относительно общего центра определяется дисперсией

, которая характеризует изменчивость значений под влиянием фактора . Обозначим . Можно показать, что .

Обозначим . Величина показывает, какая доля вариации значений СВ обусловлена вариацией значений фактора , и называется коэффициентом детерминации, а называется корреляционным отношением.

Свойства корреляционного отношения

1. .

2. Условие необходимо и достаточно для функциональной зависимости от .

3. Условие необходимо и достаточно для отсутствия регрессионной зависимости от .

4. Чем ближе к единице, тем ближе статистическая зависимость от к функциональной, и наоборот – чем ближе зависимость от к функциональной, тем ближе к единице.

Теснота корреляционной зависимости от оценивается рассеиванием значений около . Большое рассеивание означает слабую зависимость от , либо отсутствие зависимости. Малое рассеивание указывает на существование достаточно сильной зависимости.

Важной в приложениях является ситуация, когда обе функции регрессии и являются линейными. Тогда случайные величины и связаны линейной корреляционной зависимостью (линейной корреляцией). Так будет, если двумерная СВ имеет совместное нормальное распределение.