Дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Формула для вычисления дисперсии

Дисперсия. Математическое ожидание случайной величины дает центр распределения значений. Но иногда требуется знать степень разброса этих значений относительно центра распределения. Может быть, для этого нужно вычислить все возможные значения отклонения СВ от своего математического ожидания и затем найти их среднее значение? Рассмотрим пример, иллюстрирующий такую ситуацию.

Определение 7.2. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения: .

Преобразуем последнюю формулу:

.

Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата этой величины и квадрата ее математического ожидания: .

Эту формулу удобно применять в практических вычислениях.

Если СВ дискретная с законом распределения , , то СВ имеет закон распределения: , , .

По определению математического ожидания получаем ещё одну формулу

для вычисления дисперсии ДСВ с конечным числом значений.

Если ДСВ принимает счётное множество значений, то ее дисперсия находится по формуле:

при условии, что ряд сходится, . Дисперсия НСВ , принимающей значения из отрезка , определяется формулой , где – плотность распределения вероятности этой величины.

В этом же случае можно использовать другую формулу: .

В общем случае дисперсия НСВ определяется формулой: , если интеграл сходится; или .

Определение 7.3. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии: . Таким образом, зная введённые две числовые характеристики – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение – получаем ориентировочное представление о пределах возможных значений случайной величины.