Критерий Колмогорова

Критерий Колмогорова является наиболее простым критерием проверки гипотезы о модели закона распределения. Он связывает эмпирическую функцию распределения с функцией распределения абсолютно непрерывной с.в. .

Рассмотрим — конкретную выборку из распределения с неизвестной функцией распределения . Пусть – эмпирическая функция распределения. Сформулируем простую гипотезу : , в качестве альтернативной выдвинем гипотезу : .

Согласно критерию А.Н. Колмогорова вводится в рассмотрение с.в.

(21)

Эта с.в. называется статистикой Колмогорова и представляет собой максимальное отклонение эмпирической функции распределения от гипотетической (теоретической) функции распределения .

Колмогоров доказал, что при закон распределения с.в. стремится к закону распределения Колмогорова независимо от вида распределения с.в. , то есть , где — функция распределения Колмогорова. Для нее составлена табл.2 значений, которой можно пользоваться при :

Таблица 2

	0,1	0,05	0,02	0,01	0,001
	1,224	1,358	1,520	1,627	1,950

Найдем такое значение , при котором выполняется равенство . Рассмотрим уравнение .

С помощью функции распределения Колмогорова найдем корень этого уравнения; тогда . Следовательно, .

Таким образом,

.

(22)

Если , то гипотеза принимается; в противном случае гипотеза отвергается.

Пример 20. Монету бросали 4040 раз. Получили n ₁=2048 выпадений герба и n ₂=1992 выпадений решки. Проверить, используя критерий Колмогорова, согласуются ли эти данные с гипотезой H ₀ о симметричности монеты (a=0,05).

Решение. С.в. X принимает два значения: x ₁=-1 (решка) и x ₂=1 (герб). Гипотеза H ₀: P(X =-1)=P(X =1)=0,5. По табл.2 распределения Колмогорова находим корень уравнения при a=0,05. Следует x ₀=1,358. Тогда (согласно (22)) . Для нахождения по выборке строим функции и и вычисляем величину . Имеем следующий закон распределения с.в. Х ([3])

X	-1
P	0,5	0,5

и функция распределения Построим выборочное распределение ([1], определение 8)

xi	-1
ni
	0,493	0,507

и эмпирическую функцию распределения ([1], формула (6)) Максимальное отклонение и равно 0,007, то есть . Поскольку , то нет оснований отвергать гипотезу H ₀; опытные данные согласуются с гипотезой H ₀ о симметричности монеты.

Литература

1. Павлов И.В., Маринченко Е.В., Шамраева В.В. Методические указания по дисциплине «Математическая статистика». Часть 1. – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. - 30 с.

2. Прохоров Ю.В. Вероятность и математическая статистика// Энциклопедия. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1999.

3. Павлов И.В. Теория вероятностей (курс лекций и образец решения индивидуального задания). – Ростов н/Д: РГСУ, 2007. – 60 с.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшее образование, 2008.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшее образование, 2008.

6. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998.

7. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ, 2004.

8. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов – М.: Питер, 2005.

9. Сборник задач по высшей математике для экономистов под ред.
В.И. Ермакова. – М.: Инфра – М, 2008.

10. Симонов А.А., Выск Н.Д. Математическая статистика: методические указания и варианты курсовых заданий. – М.: МАТИ – Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского, 2005. – 43 с.