Д.и. для дисперсии при известном математическом ожидании

Рассмотрим другую задачу: исследуется с.в. X, для которой М X = а – известно, а D X =σ² – неизвестна. В таком случае можно использовать следующую оценку для дисперсии: .

Упражнение 19. Показать, что

(18)

— доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании a.

Точность, например, любого измерительного прибора обычно определяется дисперсией или стандартным отклонением. Пусть необходимо оценить точность весов. Для этого можно взять один и тот же предмет, взвесить его n раз и оценить дисперсию. Если точный вес предмета известен, то используют формулу (18), если нет – то формулу (17).

Пример 18. Для определения точности весов, эталонную одно килограммовую гирю взвесили 10 раз. По полученным данным вычислили грамм. Необходимо по этим данным построить доверительный интервал для дисперсии (которая определяет точность) при уровне доверия 0,95.

Решение. Имеем g=0,95; n =10; . По таблице из приложения 4 находим квантили , . Вычисляем границы доверительного интервала по (18):

.

Для самостоятельного решения предлагаются следующие упражнения:

Упражнение 20. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины с надежностью , если , , .

Упражнение 21. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины с надежностью , если , , .

Упражнение 22. Найти доверительный интервал для дисперсии нормальной величины с надежностью , если .

Лекция 8