Криві розподілу

Закономірність розподілу одиниць сукупності за значеннями варіючої ознаки можна описати певною функцією, яка має назву теоретичної кривої розподілу. Найбільш часто використовується нормальна крива розподілу, а сам розподіл, котрий можна описати цією кривою, має назву нормального розподілу. Він має наступні властивості:

68,3% одиниць сукупності знаходяться в межах Х ± σ;

95,5% — в межах Х ± 2σ;

99,7% — в межах Х ± 3σ.

2,5%

68%

2,5%

х-2σ х-σ х=Мо=Ме х+σ х+2σ

Частоти, які розміщені на кривій нормального розподілу, називаються теоретичними частотами (ft). Відхилення теоретичних та фактичних (емпіричних) частот свідчить про ступінь наближення до нормального розподілу.

Теоретичні частоти знаходяться за формулою:

де і - величина інтервалу; σ - середнє квадратичне відхилення;

уt - ординати кривої нормального розподілу (знаходяться за спеціальними таблицями):

Для об’єктивного судження про відповідність емпіричного розподілу кривій нормального розподілу використовуються спеціальні критерії відповідності (Пірсона, Колмогорова, Ястремського та ін.).

Критерій Пірсона χ2 визначається за формулою:

де f — емпіричні частоти;

ft — теоретичні частоти.

Значення χ2 табульовані для числа ступенів волі k = m–3. У тому випадку, коли χ2 < χ2таб, розподіл можна вважати наближено нормальним, а при χ2 > χ2таб — навпаки, розподіл не можна вважати наближено нормальним.

Отже, χ2 = 6,336. При числі ступенів волі k = 7–3=4 та рівні ймовірності 0,95 χ2таб = 9,5. Оскільки χ2 < χ2таб, розподіл можна вважати наближено нормальним.

Величини χ2 та k використовуються також для розрахунку критерію сполучення Романовського:

Якщо величина Кр менше 3, відмінності між емпіричними та теоретичними частотами можна вважати несуттєвими, а розподіл — наближено нормальним.

У статистичному аналізі часто використовують критерій сполучення Колмогорова (λ):

де |Dmax| — максимальна різниця нагромаджених емпіричних та теоретичних частот.

Із спеціальних таблиць ймовірностей для λ знаходять величину р(λ). Якщо це значення близьке до нуля — розподіл не можна вважати наближено нормальним, якщо р(λ) прямує до 1 — розподіл нормальний.

За раніше наведеним прикладом:

Нагромаджені частоти	fн
fнt	1,47	12,45	44,73	81,17	97,02	99,62
fн – fнt	|D|	0,53	2,45	0,27	4,83	2,02	0,62

Отже, |Dmax| = 4,83. Тоді

З таблиці при λ = 0,483 р(λ) = 0,97.Розподіл можна вважати нормальним.