Вибір функції аналітичного вирівнювання рядів динаміки грунтується на теоретичному аналізі сутності досліджуваних явищ і процесів у сфері соціальної чи економічної діяльності

Ще раз розглянемо методику вирівнювання динаміки доходу банку за рівнянням прямої на умовному прикладі (табл. 20). Для розрахункових даних таблиці обчислимо параметри а й b:

Таблиця 20

Схема аналітичного вирівнювання ряду динаміки доходу банку рівнянням прямої

Тоді рівняння тренду має вигляд

Y_t=322,8+13,54t

Із нього випливає, що в середньому дохід банку зростав щороку приблизно на 14 млн грн.

Послідовно підставляючи в це рівняння значення t, отримаємо вирівняний ряд динаміки доходу банку, абстрагований від випадкових коливань, який зростає (остання графа табл. 20).

Можна перевірити правильність розрахунку, порівнявши ΣY та ΣY_t,. Для даних із табл.20 Σ Y = 4842 = Σ Y_t, тобто рівні вирівняного ряду обчислено правильно.

Вирівнювання гіперболою. Його виконують тоді, коли з плином часу динаміка діяльності спадає чи зростає до певної межі.

Способом найменших квадратів обчислимо значення параметрів а та А для рівняння гіперболи

Для цього скористаємося системою нормальних рівнянь

Оскільки в разі згладжування гіперболою значення t неможливо вибрати симетрично щодо 0, то умова Σ t = 0 не виконується. У зв'язку з цим система нормальних рівнянь не спрощується.

Виконаємо вирівнювання вздовж гіперболи на умовному прикладі, який відбиває динаміку обсягу витрат обігу супермаркету (табл. 21).

Таблиця 21

Схема аналітичного вирівнювання ряду динаміки витрат обігу рівнянням гіперболи

Вихідні дані	Розрахункові дані
Рік	Витрати, млн грн.	t
Y
			1,00	1,00		83,23
			0,50	0,25	ЗО	54,17
			0,33	0,11		44,29
			0,25	0,06		39,63
			0,20	0,04		36,73
			0,17	0,03		34,95
п=6		—	2,45	1,49		293,0

Визначимо параметри а та b, підставивши в систему рівняння параметри, обчислені в табл. 21:

293=6a+2,45b

148=2,45a+1,49b

Розв'язавши систему, отримаємо а ≈ 25,10; b = 58,13. Тоді рівняння гіперболи має вигляд .

В останній графі табл. 21 наведено теоретичні значення Y_t

Вирівнювання параболою другого порядку. У разі вирівнюванні параболою другого порядку Y_t = a+b₁t+b₂t² параметри а, b₁, b₂ також визначимо методом найменших квадратів. Для цього розв'яжемо систему нормальних рівнянь

Якщо Σ t =0, то Σ t ³ =0. Тоді система рівнянь має вигляд

Вона має такий розв'язок:

Розглянемо на прикладі вирівнювання динамічного ряду кількості клієнтів банку рівнянням параболи другого порядку. Для цього побудуємо розрахункову табл. 22.

Таблиця 22

Схема аналітичного вирівнювання ряду динаміки кількості клієнтів банку рівнянням параболи другого порядку

Для розрахункових даних таблиці обчислимо параметр b₁

Параметри а та b₂ визначимо, розв'язавши систему рівнянь

Підставивши в рівняння цієї системи дані таблиці, одержимо

100,1= a +33 b₂

85,07= a +58,6 b₂

Віднявши від другого рівняння перше, одержимо -15,03 = 25,6 b₂,, звідки .

Із першого рівняння системи маємо a = 100,1-33 b ₂ =100,1-33-(-0,587) ≈ ≈119,471.

Отже, рівняння параболи другого порядку має вигляд

Y_t=119,471 + 4,112 t -0,587 t ².

Підставивши в нього рівняння значення t й t², одержимо вирівняні рівні (остання графа табл. 22):

y_t1994 =119,471 + 4,112(-9)-0,587·81 = 34,916,

y_t1995=119,471 + 4,112(-7)-0,587·49 = 61,924,

у_t1996 = 119,471 + 4,112(-5)-0,587·25=84,236 і т. д.

Оскільки вирівняні рівні динамічного ряду збігаються з даними емпіричного, парабола другого порядку точно відображає тренд на даному відрізку часу.

Параметри параболи другого порядку можна інтерпретувати так:

а — величина, що виражає середні умови утворення рівнів ряду;

b₁ — швидкість розвитку рівнів динамічного ряду;

b₂ — характеристика прискорення (сповільнення) цього розвитку.

Вирівнювання параболою третього порядку. У ході дослідження аналітичне вирівнювання виконують за допомогою багаточленів вищих степенів, до яких належить, наприклад, парабола третього порядку

Y_t =а+b₁t +b₂t²+b₃t³

Чим більший порядок параболи, тим вона точніше відтворює фактичні дані.

Вирівнювання показниковою функцією. Таке вирівнювання явищ економічної діяльності виконують тоді, коли показники динамічного ряду розвиваються в геометричній прогресії. У цьому разі ланцюгові темпи зростання більш-менш постійні.

Рівняння показникової функції має вигляд Y_t=ab^t.

Параметри а та b визначають методом найменших квадратів. Щоб звести цю функцію до лінійного вигляду, потрібно попередньо прологарифмувати останнє рівняння:

lg Y_t =lg a + t lg b

Тоді система нормальних рівнянь набуває такого вигляду:

Якщо Σ t = 0, то останню систему можна записати так:

Звідси

Розглянемо вирівнювання за показниковою функцією на умовному прикладі динаміки середнього залишку товарів супермаркету (табл. 23).

Для розрахункових даних таблиці визначимо , звідки a ≈168,4612; , звідки b≈1,0402. Тоді lg y_t =2,2265 + 0,0171t, або у_t =168,4612·1,0402^t (остання графа табл. 23).

Параметр b в показниковій функції характеризує середній темп зростання середнього залишку товарів. У нашому прикладі, де b =1,0402, це означає, що обсяг середнього залишку супермаркету щорічно збільшується в 1,04 раза, або на 4 %.

Вирівнювання рядом Фур'є. Аналізуючи середньорічну динаміку явищ і процесів, використовують гармоніки ряду Фур'є, які можна описати рівнянням

де k: — номер гармоніки (ступінь її точності, зазвичай від 1 до 4); t — час у градусах або радіанній мірі.

Таблиця 23

Схема аналітичного вирівнювання ряду динаміки середнього залишку товарів рівнянням показникової функції

Ряд Фур'є застосовують тоді, коли в емпіричному ряді спостерігається періодичність змін рівнів, що характеризують певну діяльність і мають вигляд синусоїдних коливань. Оскільки останні являють собою гармонічні коливання, та синусоїди, отримані в ході вирівнювання рядом Фур'є, називаються гармоніками відповідних порядків.

Параметри цього рівняння обчислюють методом найменших квадратів. Визначаючи для функції частинні похідні та прирівнюючи їх до нуля, можна одержати систему нормальних рівнянь, параметри яких обчислюють за допомогою таких формул:

Аналізуючи ряд середньорічної динаміки за місяцями, беруть k = 12. Якщо місячні періоди подати як частку кола, то ряд середньорічної динаміки явищ або процесів можна записати в такому вигляді.

Рівень Yt

Y 1

Y 2

Y 3

Y 4

Y 5

Y 6

Y 7

Y 8

Y 9

Y 10

Y 11

Y 12

Період

у радіаній мірі

π

у градусах

Побудуємо модель середньорічної динаміки за першою гармонікою ряду Фур'є щодо умовних даних роздрібного товарообороту за місяцями року (табл. 24).

Використовуючи першу гармоніку ряду Фур'є, визначимо параметри рівняння:

За обчисленими параметрами синтезуємо модель:

Y_t =32,9-0,5соs t -1,58sin t.

Підставивши в це рівняння значення соs t та sin t, отримаємо теоретичні значення обсягу роздрібного товарообороту за місяцями року:

Y _t1 = 32,9-0,51·1,5·0=32,4,

Y _t2 =32,9-0,5·0,866-1,5·0,5=31,7,

Y _t3 =32,9-0,5·0,5-1,5·0,866=31,4,

Y _t4 =32,9-0,5·0-1,5·1=31,4,

Y _t5=32,9-0,5·(-0,5)-1,5·0,866 = 31,9,

Y _t6 =32,9-0,5·(-0,866)-1,5·0,5≈32,6 і т. д.

Показники останньої графи табл. 24 досить точно характеризують розподіл вирівняних показників обсягу роздрібного товарообороту. Перша гармошка ряду Фур'є чітко апроксимує емпіричний ряд динаміки.

Аналогічно виконують вирівнювання рядом Фур'є із застосуванням другої, третьої та четвертої гармонік.