Правило сложения дисперсий.Если данные представлены в виде аналитической группировки, то можно вычислить дис­персию общую, межгрупповую и внутригрупповую

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей со­вокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возни­кающие под влиянием признака-фактора, положенного в основа­ние группировки. Она рассчитывается по формуле:

,

где х_i и n_i – соответственно средние и численности по отдельным группам

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

Средняя из внутригрупповых дисперсий

.

Существует закон, связывающий три вида дисперсий. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгруп­повых дисперсий:

.

Данное соотношение называют правилом сложения диспер­сий. Согласно этому правилу общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

Зная любые два вида дисперсий, можно определить или про­верить правильность расчета третьего вида.

Пример. Определим групповые дисперсии, среднюю из груп­повых дисперсий, межгрупповую дисперсию, общую дисперсию по данным табл. 7.4.

Таблица 7.4

Производительность труда двух бригад рабочих-токарей

1-я бригада	2-я бригада
№ п/п	Изготовлено деталей за час, шт. хi			№ п/п	Изготовлено деталей за час, шт. хi
		-2				-3
		-1				-2
						-1

Решение. Для расчета групповых дисперсий вычислим сред­ние по каждой группе:

Промежуточные расчеты дисперсий по группам представле­ны в табл. 7.4. Подставив полученные значения в формулу, по­лучим:

;

.

Средняя из групповых дисперсий

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию. Для этого предварительно определим общую среднюю как среднюю взвешен­ную из групповых средних:

Теперь определим межгрупповую дисперсию:

Таким образом, общая дисперсия по правилу сложения дис­персий

.

Проверим полученный результат, исчислив общую дисперсию обычным способом:

На основании правила сложения дисперсий можно опреде­лить показатель тесноты связи между группировочным (фактор­ным) и результативным признаками. Он называется эмпиричес­ким корреляционным отношением, обозначается η («эта») и рассчитывается по формуле . Для нашего примера эмпирическое корреляционное отношение .

Величина 0,86 характеризует существенную связь между группировочным и результативным признаками.

Наряду с вариацией индивидуальных значений признака вок­руг средней может наблюдаться и вариация индивидуальных долей признака вокруг средней доли. Такое изучение вариа­ции достигается посредством вычисления и анализа следующих видов дисперсий.

Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле

.

Средняя из внутригрупповых дисперсий

Формула межгрупповой дисперсии имеет вид:

где n_i – численность единиц в отдельных группах;

р – доля изучаемого признака во всей совокупности, которая определяет­ся по формуле

Общая дисперсия имеет вид:

Три вида дисперсии связаны между собой следующим образом:

Данное соотношение дисперсий называется теоремой сложе­ния дисперсии доли признака. Эта теорема широко используется в изучении колеблемости качественных признаков.

Пример. Определим групповые дисперсии, среднюю из груп­повых, межгрупповую и общую дисперсии по данным табл. 7.5.

Таблица 7.5

Численность и удельный вес одной из категорий крупного рогатого скота фермерских хозяйств района

Хозяйство	Удельный вес дойных коров, % pi	Всего коров ni
Итого

Решение. Определим долю дойных коров в целом по трем хозяйствам:

Общая дисперсия доли дойных коров:

Внутригрупповые дисперсии:

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

Межгрупповая дисперсия:

Используя правило сложения дисперсий, получаем: 0,1025 + 0,0031 = 0,1056. Пример решен правильно.

Выяснение общего характера распределения предполагает не только оценку степени его однородности, но и оценку его симметричности, остро- или плосковершинности. Симметричным называется распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В статистике для характеристики асиммет­рии пользуются несколькими показателями.

Показатели асимметрии и эксцесса. Степень асимметрии может быть определена с помощью коэффициента асимметрии:

,

где – средняя арифметическая ряда распределения,

Мо – мода;

σ – среднее квадратическое отклонение

При симметричном (нормальном) распределении = Мо, следовательно, коэффициент асимметрии равен нулю. Если A_s > 0, то больше моды, следовательно, имеется правосторонняя асиммет­рия.

Если A_s < 0, то меньше моды, следовательно, имеется ле­восторонняя асимметрия. Коэффициент асимметрии может из­меняться от -3 до +3.

В практических расчетах часто в качестве показателя асим­метрии применяется отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе, т.е. .

Это дает возможность определить не только величину асим­метрии, но и проверить наличие асимметрии в генеральной сово­купности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независи­мо от знака) считается значительной. Асимметрия меньше 0,25 – незначительная.

Пример. Рассчитаем коэффициент асимметрии по дан­ным о распределении фирм по стоимости основных фондов (табл. 7.6).

Таблица 7.6

Расчет коэффициента асимметрии

Группы фирм по стоимости основных фондов, млн. руб. х	Количество фирм fi	Середина интервала xi	k = 0,5	x’fi	(x’)2fi	(x’)3fi	(x’)4fi
0,5-1,0		0,75	-2	-40		-160
1,0-1,5		1,25	-1	-40		-40
1,5-2,0		1,75
2,0-2,5		2,25
Итого		-	-	-60		-180

Решение. Определяем условные моменты m₁, m₂ и m₃, а так­же центральные моменты μ₂ и μ₃, необходимые для вычисления коэффициента асимметрии:

Коэффициент асимметрии для данного ряда

Полученный результат свидетельствует о наличии незначи­тельной правосторонней асимметрии.

Для симметричных распределений может быть также рассчи­тан показатель эксцесса:

.

При симметричном распределении E_k = 0. Если E_k > 0, рас­пределение является островершинным; если E_k < 0 - плосковер­шинным.

Вычислим E_k по данным табл. 7.6, определив вначале вели­чину четвертого центрального момента: . Тогда . Таким образом, исследуемое распределе­ние является островершинным.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли отнести данное эмпи­рическое распределение к типу нормального распределения.

Построение нормального распределения по эмпирическим данным.Имея дело с эмпирическим распределением, можно предположить, что данному распределению соответствует опре­деленная, характерная для него теоретическая кривая. Выдвинув гипотезу о той или иной форме распределения, стремятся опи­сать эмпирический ряд с помощью математической модели, выражающей некоторый теоретический закон распределения. Среди различных кривых распределения особое место занимает нормальное распределение.

Нормальное распределение чаще всего выражается следую­щей стандартизованной кривой нормального распределения:

,

где у_t – ордината кривой нормального распределения;

– стандартизованная (нормированная) величина;

е и π – математические постоянные:

х_i – значения изучаемого признака,

– средняя арифметическая ряда,

σ – среднее квадратическое отклонение изучаемого признака.

Как видно из уравнения, два параметра – средняя арифмети­ческая () и среднее квадратическое отклонение (σ) - определя­ют черты симметричной кривой нормального распределения. В зависимости от их значения она может иметь разный центр груп­пирования, быть более удлиненной или сжатой.

Пример. Рассчитаем значения частот теоретического ряда распределения на основании эмпирических данных об урожай­ности зерна в 500 фермерских хозяйствах, представленных в табл. 7.7.

Таблица 7.7

Расчет теоретических частот нормального распределения

Урожай­ность, ц/га	Сере­дина интер- вала xi	Кол-во хоз-в fi	xifi						Теоретические частоты
А
До 38,25	38,0		76,0			-3	-3	0,004
38,25-38,75	38,5		115,0			-2,5	-2,5	0,017
38,75-39,25	39,0		390,0			-2,0	-2,0	0,054

Продолжение таблицы 7.7

А
39,25-39,75	39,5		1224,5			-1,5	- 1,5	0,130
39,75-40,25	40,0		2880,0			-1,0	-1,0	0,242
40,25-40,75	40,5		3442,5			-0,5	-0,5	0,352
40,75-41,25,	41,0		3854,0					0,399
41,25-41,75	41,5		3652,0			0,5	0,5	0,352
41,75-42,25	42,0		2604,0			1,0	1,0	0,242
42,25-42,75	42,5		1572,5			1,5	1,5	0,130
42,75-43,25	43,0		516,0			2,0	2,0	0,054
43,25-43,75	43,5		130,5			2,5	2,5	0,017
Свыше 43,75	44,0		44,0			3,0	3,0	0,004
Итого	-		20501,5	-				-

Для данного эмпирического распределения находим сначала значения = 41 ц/га и σ = 1,0 (они рассчитаны обычным спосо­бом и не воспроизведены в табл. 7.7).

Затем находим отклонения х_i – (табл. 7.7 гр. 6) и стандар­тизованные отклонения (табл. 7.7 гр. 7) для данного варианта. Значения же теоретической частоты для нее исчисляются по известной уже формуле: .

Так как величина остается одной и той же для всего распределения с равными интервалами, в частности в нашем примере , то достаточно ее найти один раз и умножить на величину φ(t) при данном t, тогда получим искомую теоретическую частоту (табл. 7.7 гр. 9).

Критерии согласия. Количественная характеристика соответ­ствия может быть получена с помощью особых статистических показателей-критериев согласия. Известны критерии согласия К. Пирсона (хи-квадрат), В.И. Романовского, Б.С. Ястремского и А.Н. Колмогорова.

Критерий согласия Пирсона (χ²) вычисляется по формуле

,

где f_Э и f_T – эмпирические и теоретические частоты соответственно.

С помощью величины χ² по специальным таблицам прило­жения определяется вероятность Р (χ²). Входами в таблицу явля­ются значения χ² и число степеней свободы γ = n – 1. На основе Р выносится суждение о существенности расхождения между эм­пирическим и теоретическим распределениями. При Р > 0,5 счи­тается, что эмпирическое и теоретическое распределения близ­ки. При РÎ(0,2; 0,5) совпадение между ними удовлетворитель­ное, в остальных случаях недостаточное.

Критерий Романовского (С), также используемый для про­верки близости эмпирического и теоретического распределений, определяется следующим образом:

,

где χ² – критерий Пирсона:

γ – число степеней свободы.

При С < 3 различие несущественно, что позволяет считать эмпирическое распределение близким к нормальному.

Критерий Ястремского (L) может быть найден на основе следующего соотношения:

,

где N – объем совокупности:

pq – дисперсия альтернативного признака;

k – число вариантов или групп;

Q – принимает значение 0,6, при числе вариантов или групп от 8 до 20.

Если L < 3, то эмпирическое распределение соответствует теоретическому.

Критерий Колмогорова (λ) вычисляется по формуле

,

где D – максимальное значение разности между накопленными эмпиричес­кими и теоретическими частотами;

Σf – сумма эмпирических частот.

Необходимым условием использования этого критерия явля­ется достаточно большее число наблюдений (не меньше ста).

Пример. Рассчитаем критерии Колмогорова и Пирсона по данным табл. 7.8.

Таблица 7.8

Расчет критерия Колмогорова по данным об урожайности зерновых

в 500 фермерских хозяйствах

Урожайность, ц/га xi	Частоты ряда распределения	Накопленные частоты	|fЭ – fT|
эмпирические fЭ	теоретические fT	эмпирические fЭ	теоретические fT
До 38,25
38,25-38,75
38,75-39,25
39,25-39,75
39,75-40,25
40,25-40,75
40,75-41,25
41,25-41,75
41,75-42,25
42,25-42,75
42,75-43,25
43,25-43,75
Свыше 43,75
Итого			-	-	–

Как видно из табл. 7.8, максимальное значение разности между эмпирическими и теоретическими частотами составляет 7, т.е. D=7.

Следовательно, в нашем примере величина критерия Колмо­горова

.

По таблицам вероятностей Р (λ) определяем, что λ = 0,31 соответствует Р(х), близкая к 1,00. Это означает, что с вероятно­стью, близкой к 1, можно утверждать, что отклонения фактичес­ких частот от теоретических в нашем примере являются случай­ными. Следовательно, можно считать, что в основе фактического распределения фермерских хозяйств по урожайности лежит нормальное распределение.

Этот же вывод подтверждается расчетом χ²-критерия Пирсо­на (табл. 7.9).

Таблица 7.9

Расчет критерия Пирсона по данным об урожайности зерновых

в 500 фермерских хозяйствах

Урожайность, ц/ га хi	Частоты распределения ряда	fЭ – fТ
эмпирические fЭ	теоретические fТ
До 38,25	2	1
38,25-38,75
38,75-39,25				1,70
39,25-39,75				0,03
39,75-40,25				2,00
40,25-40,75				0,05
40,75-41,25				0,16
41,25-41,75				0,01
41,75-42,25				0,02
42,25-42,75				0,78
42,75-43,25				0,10
43,25-43,75	3	4		0,20
Свыше 43,75
Итого			-	5,05

Из данных табл. 7.9 видно, что χ^{2 =} 5,05. По таблицам веро­ятностей Р(χ²) = 0,9834. Таким образом, эмпирическое и теоре­тическое распределения близки.

Критерий Романовского . Следовательно, теоретическое распределение эмпирического ряда удов­летворительное.

Для характеристики структуры вариационных рядов приме­няются показатели особого рода, которые можно назвать струк­турными средними.