Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Исследование вариации в статистике и социально-экономических исследованиях имеет важное значение, так как величина вариации признака в статистической совокупности характеризует ее однородность.
В статистической практике для изучения и измерения вариации используются различные показатели (меры) вариации в зависимости от поставленных перед исследователем задач. К ним относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
При изучении вопроса о вариации нужно четко представлять себе условия, порождающие вариацию признаков, а также сущность и значение измерения вариации признаков. Следует также усвоить, что изучение вариации признаков общественных явлений находится в прямой связи с группировками, в частности с рядами распределения. Очень важно научиться свободно исчислять все показатели вариации.
Способы вычисления показателей вариации. Размах вариации (R) является наиболее простым измерителем вариации признака.
R = xmax – xmin,
где хmax – наибольшее значение варьирующего признака;
хmin – наименьшее значение признака.
Среднее линейное отклонение () представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней. Его можно рассчитать по формуле средней арифметической, как невзвешенной, так и взвешенной, в зависимости от отсутствия или наличия частот в ряду распределения:
– невзвешенное среднее линейное отклонение;
– взвешенное среднее линейное отклонение.
Символы хi, , fi и n имеют то же значение, что и в предыдущей главе. Рассмотренные выше показатели имеют ту же размерность, что и признак, для которого они вычисляются.
Пример. На основе данных табл. 7.1 рассчитаем среднее линейное отклонение для дискретного ряда распределения.
Решение. Размах вариации стажа равен:
R = 12 – 8 = 4 года.
Результаты вспомогательных расчетов даны в графах 3-5 табл. 7.1.
Средний стаж работы определяем по формуле средней арифметической взвешенной:
Отклонения индивидуальных значений стажа от средней с учетом и без учета знака содержатся в графах 4 и 5, а произведения отклонений по модулю на соответствующие частоты – в гр. 6.
Таблица 7.1
Распределение учителей средних школ района по стажу работы
Стаж работы, лет xi (признак) | Число учителей в % к итогу fi (вес (частота)) | xifi | |||
-2 | |||||
-1 | |||||
Итого | - |
Среднее линейное отклонение стажа работы учителей средних школ района
Показатели дисперсии и среднего квадратического отклонения являются общепринятыми мерами вариации и широко используются в статистических исследованиях.
Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины (обозначается греческой буквой σ2 – «сигма квадрат»). Дисперсия вычисляется по формулам простой невзвешенной и взвешенной:
– невзвешенная;
– взвешенная.
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней:
– невзвешенное;
– взвешенное.
Среднее квадратическое отклонение – величина именованная, имеет размерность осредняемого признака.
Пример. Рассчитаем дисперсию и среднее квадратическое отклонение для следующего ряда распределения (табл. 7.2).
Таблица 7.2
Распределение магазинов города по товарообороту во II квартале 1998 г.
Группы магазинов по величине товарооборота, тыс. руб. | Число магазинов fi | Середина интервала, тыс. руб. хi, | xifi | |||
А | ||||||
40-50 | -49,2 | 2420,64 | 4841,28 | |||
50-60 | -39,2 | 1536,64 | 6146,56 | |||
60-70 | -29,2 | 852,64 | 5968,48 | |||
70-80 | -19,2 | 368,64 | 3686,40 | |||
80-90 | -9,2 | 84,64 | 1269,60 | |||
90-100 | 0,8 | 0,64 | 12,80 | |||
100-110 | 10,8 | 116,64 | 2566,08 | |||
110-120 | 20,64 | 432,64 | 4759,04 | |||
120-130 | 30,8 | 948,64 | 5691,84 | |||
130-140 | 40,8 | 1664,64 | 4993,92 | |||
Итого | - | - | 39936,00 |
Решение. В приведенных ранее примерах мы имели дело с дискретными рядами. При расчете показателей вариации по интервальным рядам распределения (табл. 7.2) необходимо сначала определить середины интервалов, а затем вести дальнейшие расчеты, рассматривая ряд середин интервалов как дискретный ряд распределения.
Результаты вспомогательных расчетов для определения дисперсии и среднего квадратического отклонения содержатся в графах 2-6 табл. 7.2.
Средний размер товарооборота определяется по средней арифметической взвешенной и составляет:
Дисперсия товарооборота
Среднее квадратическое отклонение товарооборота определяется как корень квадратный из дисперсии:
Расчет дисперсии прямым способом в ряде случаев трудоемок, поэтому логично, используя свойства дисперсии, упростить ее вычисления, например используя расчет дисперсии по способу отчета от условного нуля или способу моментов по следующей формуле:
С использованием начальных моментов формула расчета дисперсии по способу моментов имеет следующий вид:
σ2 = k2 (m2 – m12),
где k – величина интервала;
А – условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала с наибольшей частотой;
– начальный момент первого порядка;
– начальный момент второго порядка.
В случае когда А приравнивается к нулю и, следовательно, не вычисляются отклонения, формула принимает вид:
или
Воспользуемся данными предыдущего примера и рассчитаем дисперсию по способу отсчета от условного нуля и способу моментов. Расчет произведем в табличной форме (табл. 7.3).
Таблица 7.3
Расчет дисперсии способом отчета от условного нуля
Группы магазинов по товарообороту, тыс. руб. | Число магазинов fi | Середина интервала, тыс. руб. xi | xi – A (А = 95) | (k = 10) | ||||
40-50 | -50 | -5 | -10 | |||||
50-60 | -40 | -4 | -16 | |||||
60-70 | -30 | -3 | -21 | |||||
70-80 | -20 | -2 | -20 | |||||
80-90 | -10 | -1 | -15 | |||||
90-100 | ||||||||
100-110 | ||||||||
110-120 | ||||||||
120-130 | ||||||||
130-140 | ||||||||
Итого | - | - | - | -8 | - |
По способу отсчета от условного нуля:
По способу моментов получаем:
По способу разности между средней квадратов вариантов признака и квадратом их средней величины
Результаты расчетов дисперсии по всем трем способам дают одну и ту же величину.
Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха, или среднего линейного отклонения, или среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего, они выражаются в процентах и характеризуют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации (V):
Коэффициент осцилляции: .
Линейный коэффициент вариации: .
Коэффициент вариации: .
Рассмотрим примеры определения этих показателей.
По данным табл. 7.1, коэффициент осцилляции , а линейный коэффициент вариации .
Коэффициент вариации вычислим на основе ряда распределения, представленного в табл. 7.2: .
Наиболее часто в практических расчетах из этих трех показателей применяется коэффициент вариации.
Статистическое изучение вариации многих социально-экономических явлений проводится и при помощи дисперсии альтернативного признака. Обозначим наличие данного признака 1, отсутствие 0, долю вариантов, обладающих данным признаком, р, а не обладающих им q. Так как ряд р + q = 1, то средняя = р, а дисперсия альтернативного признака σ2 = pq, где , n – число наблюдений, m – число единиц совокупности, обладающее данным признаком, q = 1 – р.
Определим дисперсию альтернативного признака по следующим данным: налоговой инспекцией одного из районов города проверено 172 коммерческих киоска и в 146 обнаружены финансовые нарушения. Тогда
n = 172, m = 146; ; q = 1 – 0,85 = 0,15; σ2 = 0,85 · 0,15 = 0,1275.
Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии.
Дата публикования: 2015-01-09; Прочитано: 1071 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!