Дискретні випадкові величини

Визначення 1. Дискретною випадковою величиною – називається така величина Х, яка може набувати скінчену або нескінчену множину значень, тобто елементи якої можемо занумерувати і виписати послідовністю х₁, х₂,..., х_n,...

Наприклад. 1) число телефонних дзвінків в час пік на телефонній станції;

2) кількість пригод у місті протягом доби;

3) х-діагноз, х₁, х₂,..., х_n – ступені захворювання.

Визначення 2. Функція р(х), яка співставляє кожному значенню х_і випадкової величини ймовірність цього значення Р(х_і) повністю визначає випадкову величину і називається дискретним розподілом, або функцією ймовірності.

Ця функція може бути задана таблично, графіком, або аналітично (формулою).

Визначення 3. Функція , яка визначає ймовірність того, що випадкова величина х не перевищить х_і, називається інтегральною функцією розподілу

Зрозуміло, що якщо , то , тобто монотонно зростаюча функція, при чому .

Доповнення до одиниці дає ймовірність, що ВВ перевищує значення х_і, тобто

Так як , то ймовірність попадання значень ВВ в інтервал можливо обчислити для даної функції розподілення по формулі

Любу характеристику випадкової величини, з якої по відомим правилам можемо отримати її розподіл, називають законом розподілу цієї величини.

Приклад. Кількість автомобілів, проданих протягом одного дня (дані за місяць).

В.В. – Х, її значення – х_і – кількість проданих за день машин;

f_і – кількість днів (частота) в які продано х_і машин;

Р(х_і) – ймовірність продажу х машин на день;

F(х_і) – монотонно зростаюча функція продажу машин (інтегральна функція).

Частотне розподілення використовується для оцінки ймовірності продажу машин за день:

хі	fі	Р(хі)	F(хі)	хі Р(хі)	хі2 Р(хі)
		5/30	5/30
		4/30	9/30	4/30	4/30
		8/30	17/30	16/30	32/30
		4/30	21/30	12/30	36/30
		6/30	27/30	24/30	96/30
		3/30	30/30	15/30	75/30
Всього				71/30 2,37	243/30 8,1

Ймовірність – це відносна частота появи кожного значення дискретної ВВ. Середнє значення і стандартне відхилення можливо знайти за допомогою імовірнісного розподілення і за допомогою частотного розподілення. В цьому випадку використовується відносна частота (ймовірність), яка замінює частоту. Для ймовірного розподілення:

Середнє значення – машин в день.

Дисперсія – .

Середнє значення, яке побудоване на імовірнісному розподіленні, називається математичним очікуванням (при умові багатократного проведення експерименту). Математичне очікування дискретної випадкової величини позначається M[x] чи m_x.

Так як , то математичне очікування має вигляд:

Варіація імовірнісного розподілення може бути виміряна за допомогою середнього квадратичного відхилення чи дисперсії дискретної ВВ.

Дисперсія = (Стандартне відхилення)²

Так як , то

=

Середньо квадратичне відхилення

машин в день.

Змістовне значення дисперсії – міра розсіювання значень В.В. навколо її математичного очікування.

Графічне представлення розподілення дискретної ВВ

1) Функція ймовірності

2) Інтегральна функція розподілу

Знайти ймовірність Р(х<3)

Яка ймовірність того, що ми попали в інтервал

Властивості математичного очікування

1. Математичне очікування постійної величини дорівнює їй самій

2. Математичне очікування суми двох В.В. дорівнює сумі їх математичних очікувань

3. Якщо до ВВ додати константу С її математичне очікування збільшиться на цю константу

4. Математичне очікування суми кінцевого числа ВВ дорівнює сумі їх математичних очікувань

5. Якщо ВВ умножити на константу С (const), то її математичне очікування збільшиться в стільки разів

6. Якщо , то

7. Якщо ВВ х, у незалежні, то

Властивості дисперсії

1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю

2. Дисперсія суми ВВ та С (const) дорівнює

3.

4.

5. Якщо , то

6. , де і називається кореляційним моментом ВВ Х, У.

Кореляційний момент грає важливу роль, він описує взаємозв’язок ВВ. Обмежимося поки що наступним припущенням.

Припущення: Якщо випадкові величини Х, У незалежні, то .

Квадратний корінь з дисперсії ВВ Х називається середнім квадратичним відхиленням

Середнє квадратичне відхилення позначається звідси

Лекція 2

Тема: Біноміальний закон розподілу

Нехай виконується n незалежних дослідів, в кожному з яких подія А може з’явитися чи не з’явитися. Ймовірність настання події в усіх дослідах постійна і дорівнює р (тоді ймовірність не появи події q=1-p).

Розглянемо у якості дискретної ВВ Х число появи події А в цих дослідах.

Поставимо перед собою задачу: знайти закон розподілення величини Х. Для її вирішення необхідно визначити можливі значення Х та їх ймовірності. Очевидно, подія А в n дослідах може чи не з’явитися, чи з’явитися 1 раз, чи 2 рази,... чи n раз. Таким чином, можливі значення Х такі: х₁=0, х₂=1, х₃=2,..., х_n+1 = n. Залишається знайти ймовірності цих можливих значень, для цього достатньо скористатися формулою Бернуллі:

Ця формула і є аналітичним виразом шуканого закону розподілення.

Біноміальним називають розподілення ймовірностей, яке визначається формулою Бернуллі. Закон зветься біноміальним тому, що праву частину рівняння можемо розглянути як загальний член розкладання бінома Ньютона:

Таким чином, перший член розкладу визначає ймовірність настання розглядаємої події n раз в n незалежних дослідах, другий член визначає ймовірність настання події n-1 раз;...; останній член визначає ймовірність того, що подія не з’явиться жодного разу.

В любому експерименті, де для n ідентичних, незалежних дослідів з двома можливими наслідками („успіх” та „невдача”) ймовірність „успіху” одна й таж сама, ймовірність r „успіхів” в n дослідах дорівнює

p(r)=(ймовірність r „успіхів”)*(ймовірність(n-r) „невдач”)*(число способів, якими це може бути зроблено)

Приклад 1 Ймовірність поломки одного з п’яти працюючих незалежно один від одного станків дорівнює 0,2. Якщо відбувається поломка, станок до кінця дня не працює. Яка ймовірність, що 0, 1, 2, 3, 4, 5 зламаються протягом дня?

Рішення:

В даному випадку є всі умови біноміального розподілення:

1. П’ять станків зображають собою п’ять ідентичних дослідів.

2. Станки працюють незалежно один від одного.

3. Можливі два наслідки для кожного з станків – чи він зламається чи ні.

4. Ймовірність поломки однакова 0,2.

Отже, ймовірність безперебійної роботи дорівнює 0,8, звідси ймовірність rполомок протягом дня:

Таблиця 1. Ймовірність поломки станків протягом дня

Число станків	Число варіантів появи	Ймовірність
Зламалися r	Не зламалися 5-r
	Всього	1,0000

Графік дискретної ймовірності розподілення для всіх r.

Математичне очікування та стандартне відхилення

для біноміального розподілення

Математичне очікування для дискретної ВВ

Математичне очікування для дискретної ВВ з біноміальним розподіленням ймовірностей

де n – число дослідів,

p – ймовірність успіху у кожному досліді,

P(r) – біноміальна ймовірність.

Стандартне відхилення для дискретної ВВ

Для ВВ з біноміальним розподіленням ймовірностей

Отже дисперсія дорівнює

, де q – ймовірність „невдачі” в любому досліді.

Приклад (продовження прикладу 1)

Знайти математичне очікування зламавшихся за день станків та стандартне відхилення

Число зламавшихся за день станків	Ймовірність поломки P(r)	r P(r)	r 2 P(r)
	0,3277
	0,4096	0,4096	0,4096
	0,2048	0,4096	0,8192
	0,0512	0,1536	0,4608
	0,0064	0,0256	0,1024
	0,0003	0,0015	0,0075
Всього	1,000	0,9999 1,0000	1,7995 1,8000

За загальною формулою математичне очікування ВВ

За формулою біноміального розподілення

тобто очікувана кількість поломок – один станок в день.

Стандартне відхилення (загальна формула ВВ)

По формулі біноміального розподілення

дисперсія

Розподілення Пуассона

Загальна формула розподілення ймовірностей Пуассона

де – середнє число „успіхів” на одиницю

r – 0, 1, 2,...

е – константа 2,718...

Важливе допущення:

, коли n – дуже велике, p – дуже мале. Тобто формула виражає закон розподілення Пуассона ймовірностей масових та рідких подій.

Характерні особливості даних, для яких найкращім образом підходить розподілення Пуассона:

1. Кожний малий інтервал часу може розглядатися як дослід, результатом якого є одне з двох: чи є подія („успіх”), чи її відсутність („невдача”). Інтервали настільки малі, що може бути тільки один „успіх” в одному інтервалі, ймовірність якого мала та незмінна.

2. Число „успіхів” в одному великому інтервалі не залежить від їх числа в другому, тобто „успіхи” хаотично розкидані на проміжках часу.

3. Середнє число „успіхів” постійно протягом всього часу.

Розподілення ймовірності Пуассона може бути використано не тільки при роботі з випадковими величинами на інтервалах часу, але і при (****) обліку дефектів дорожнього покриття на кілометр шляху чи обліку помилок на сторінку тексту на сторінку тексту.

е=2,718...

е^-1 0,37; е^-2 1/7 0,143; е^-3 1/20 0,0498; е^-4 1/50 0,02.

Приклад 2

В середньому на телефонній станції замовляють три телефонних розмови протягом п’яти хвилин. Яка ймовірність, що буде замовлено 0, 1, 2, 3, 4 чи більше чотирьох розмов протягом п’яти хвилин?

Рішення:

Застосуємо розподілення Пуассона, так як:

1. Існує необмежена кількість дослідів, тобто маленьких відрізків часу, коли може з’явитися замовлення на телефонну розмову, ймовірність чого мала та постійна.

2. Рахується, що попит на телефонні розмови хаотично розподілений в часі.

3. Рахується, що середнє число телефонних розмов на любому 5-хвилинному відрізку часу однаковий.

В цьому прикладі середнє число замовлень дорівнює 3 за 5 хвилин.

Звідси, розподілення Пуассона

, r = 1, 2, 3, 4,...

Р(0 замовлень за 5 хвилин)

При розподіленні ймовірності Пуассона, знаючи середнє число „успіхів” на 5-хвилинному проміжку, можемо взнати r середнє число „успіхів” за годину, треба помножити m на 12. Середнє число замовлень за годину буде 3х12=36= m.

Середнє число замовлень за хвилину m=3/5=0,6.