Елементи комбінаторики

Комбінаторика – це розділ математики, який вивчає задачі про розташування чи вибір елементів з множини.

Маємо k множин М₁, М₂,..., М_k, які вміщують в собі n₁, n₂, …, n_k елементів. Число комбінацій елементів, взятих з кожної множини по одному, дорівнює

Наприклад. Документи, які були оформлені на виїзд з країни, пройшли контроль. 10 паспортів було перевірено Івановим, 12 – Петровим, 9 – Смирновим. Скількома способами можна вибрати по 3 паспорта так, щоб в кожній виборці був представлений один паспорт, перевірений кожним інспектором?

З множини , яка містить n елементів, вибирають m елементів та розташовують у строго визначеному порядку. Отримаємо комбінації, які відрізняються самими елементами чи порядком їх розташування, називаються розміщеннями.

Число розміщень l елементів, вибраних з n елементів, дорівнює

,

Приклад. В групі з 25 студентів вибираються староста, профорг, культорг. Яке число усіх можливих варіантів вибору „трикутника” групи.

Число розміщення з 25 елементів 3 дорівнює

Якщо кожна комбінація з множини, містить n елементів, складається з n елементів, то отримані розміщення називаються перестановками. Число перестановок з n елементів дорівнює

Приклад. Для проведення іспитів було відібрано 5 різноманітних моделей автомобіля. Скількома способами вони можуть бути розподілені між п’ятьома іспитниками?

Число способів, якими можна розподілити 5 автомобілів, дорівнює числу комбінацій з 5 елементів 5

З множини , яка містить n елементів, вибирають m елементів в будь-якій послідовності, тобто їх розміщення не має значення. Отримані комбінації вважаються різними, якщо вони відрізняються хоча б одним елементом.

Такі комбінації називаються сполученням. Число сполучень з множини n елементів по m дорівнює

Приклад. Для проходження практики в Міністерстві іноземних справ з групи в 25 студентів виділити повинні 3-х чоловік. Яке число всіх можливих варіантів вибору цієї трійки?

Число можливих варіантів дорівнює числу комбінацій з 25 елементів по 3

Випадкові події

Теорія ймовірності вивчає закономірності явищ, які проходять при масовому повторенні (досліду).

Початковим моментом при вивченні, вказаних закономірностей є умова, що дослід може бути повторений скільки завгодно раз.

Наприклади.

1. Підкидання монет.

два наслідки: а₁ – монетка упала цифрою до гори,

а₂ – монетка упала гербом до гори,

.

2. Вилучення навмання шару з урни, яка містить червоні, чорні і білі шари. В результаті досліду можуть виникнути різноманітні наслідки.

Тобто маємо три наслідки: .

Випадковою подією називається будь-який факт, який в результаті іспиту може відбутися або не відбутися.

Події будемо позначати великими літерами А, В, С.

Можливість появи випадкової події А при реалізації комплексу умов S оцінюється кількісною мірою Р(А /S), або Р(А), яка називається ймовірністю події А.

Для любої випадкової події

Якщо Р(А)=0 – подія неможлива

Р(А)=1 – подія достовірна

Інтуїтивно зрозуміло, що подія чим більш ймовірна, тим частіше вона настає при вказаному комплексі умов. Таким чином ймовірність пов’язана з частотою появи події А при багатократному повторенні комплексу умов S. З ростом числа таких повторень, які називаються іспитами (дослідами) частота все точніше характеризує величину ймовірності.

Закономірності, які притаманні випадковим подіям мають масовий характер і називаються імовірнісними або стохастичними.

Існує багато підходів до визначення ймовірності, наприклад, класичне визначення.

Якщо з загального числа n рівноможливих і несумісних випадків події А відповідають m випадків, то

В більш складних випадках використовують комбінаторні методи.

Приклад.

По факсу отримано 8 повідомлень з політичного питання та 12 з економічного питання країни.

Ви берете одне з них навмання. Яка ймовірність, що це повідомлення з політичного питання? Яка ймовірність, що це повідомлення з економічного питання?

m₁ – число повідомлень з політичних питань;

m₂ – число повідомлень з економічних питань;

n – загальне число повідомлень.

Р(А) – частота події А;

Р(B) – частота події B;

.

;

.

Ймовірність того, що це повідомлення з політичного питання дорівнює . Ймовірність того, що це повідомлення з економічного питання дорівнює .

Комбінаторні визначення ймовірності можливо використовувати, якщо завчасно можливо застосовувати положення про однакову можливість результатів досліду (іспитів).

Статистичний підхід засновано на реєстрації події А при багатократному повторенні досліду в однакових умовах S.

На практиці неможливо реалізувати , тому частоту називають статистичною ймовірністю.

Множина подій

Сукупність всіх можливих реалізацій при даному комплексі умов складає множину елементарних подій. Це визначається, як універсум, а подія – як підмножина універсуму.

Наприклад. В президентських виборах беруть участь 5 кандидатів . В другий тур пройде тільки 2 кандидата з 5. Яка ймовірність того, що кандидат пройде в другий тур?

(пройде І тур)

варіантів, які формують множину елементарних подій.

Несумісні події

Події А і В називаються несумісними, якщо множини їх не перетинаються, тобто

Наприклад. випадання при викиданні двох гральних кісток дубля та непарного числа очків (не може випасти одночасно).

сумісні події

Наприклад. випадання дубля і парного числа очків.

Ця подія – сумісна подія.

Подія, яка полягає в тому, що реалізуються не сумісні події А або В, відповідає об’єднанню цих подій, або диз’юнктивній сумі тоді ймовірність цієї події

– хоча б одна подія виконується.

Дійсно, якщо m_А, m_В –число випадків, які відповідають подіям А, В в серії з n дослідів, тоді

Це можна розповсюдити на любу кількість подій

Якщо об’єднання попарно несумісних подій складає основну множину, то поява однієї з них є подією достовірною, тобто

Приклад. При стрільбі по мішені ймовірність зробити відмінний постріл дорівнює 0,3, а ймовірність зробити постріл на оцінку „добре” дорівнює 0,4. Яка ймовірність отримати за зроблений постріл оцінку не нижче „добре”?

Подія А – добре зроблений постріл.

Тепер окремий випадок:

Пам’ятаємо, що сума всіх подій дорівнює 1. Тоді подія С – це подія погано зробленого пострілу (подія, що погано зроблена). Звідси,

Незалежні події

Події А і В називаються незалежними, якщо ймовірність однієї з них не залежить від реалізації іншої.

Подія, яка заключається в реалізації і події А і події В відповідає перетину цих подій

Приклад. Робітник обслуговує три автоматичних станка, до кожного треба підійти і ліквідувати непоправність, якщо станок зупиниться. Ймовірність того, що перший станок не зупиниться протягом години дорівнює 0,9. Та ж ймовірність, для другого дорівнює 0,8, і для третього – 0,7. Визначити ймовірність того, що протягом години робітнику не треба буде підійти ні до жодного з станків.

– незалежні

– залежні

Умовна ймовірність

Якщо події А і В залежні, то після того, як наступить подія А, ймовірність події В буде відрізнятися від Р(В), яка розрахована без врахування події А.

Означення Ймовірність події В при умові, що відбулася подія А називають умовною ймовірністю і позначають

Запишемо формулу ймовірності одночасного настання двох залежних подій А і В

Звідси, – це визначення умовної ймовірності.

Приклад. Ймовірність, що ми витягли два білих шари з урни, в якій знаходяться 2 білих та 3 чорних шари (враховуємо, що витягнутий шар не повертається в урну) дорівнює добутку ймовірностей: 1. витягти білий шар 1-й раз (подія А) на ймовірність витягти білий шар 2-й раз (подія В) при умові, що першим був білий шар (відбулася подія А)

,

якщо витягнутий шар повернули в урну, то А і В незалежні і .

Тема: Випадкові величини та їх закони розподілення

Випадкова величина – величина, яка приймає в залежності від випадкового наслідку випросувавння ті чи інші значення з визначеними ймовірностями.

Так число очків, які випадають є випадковими величинами, що приймають значення 1, 2, 3, 4, 5, 6 з ймовірністю 1/6 кожне. Якщо випадкова величина (ВВ) приймає скінчену чи нескінчену послідовність різних значень, то її розподілення ймовірностей (закон розподілення) задається показом (указанием) цих значень та відповідних їм ймовірностей.

Тема: Випадкові величини