Элементы теории ошибок (погрешностей)

Цельюлюбого измерения некоторой физической величины является получение её истинного значения. Однако это весьма непростая задача из-за различных ошибок (погрешностей), неизбежно возникающих при измерениях.

Все измерения делятся на прямые и косвенные. Прямые измерения производятся с помощью приборов, которые непосредственно измеряют исследуемую величину. При косвенных измерениях определяемую величину вычисляют по некоторой формуле, а параметры, входящие в эту формулу, находят путем прямых измерений. Погрешность, возникающая в прямых измерениях, естественно, ведет к появлению ошибки косвенно определяемой величины.

Ошибки (погрешности) измерений принято делить на систематические и случайные.

Систематические ошибки вносятся самим измерительным прибором. Их можно учесть, если известен класс точности данного прибора.

Появление случайных ошибок обусловлено влиянием многочисленных случайных причин на результаты измерений. Эти погрешности обнаруживаются лишь при повторении процедуры измерений и приводят к получению ряда близких, но все-таки различающихся между собой значений измеряемой величины.

Теория ошибок позволяет оценить величину именно случайной ошибки. Обычно предполагают, что случайная ошибка подчиняется нормальному закону распределения.

Рассмотрим вначале порядок обработки результатов прямых измерений.

Допустим, измеряется величина Х и мы хотим найти её истинное значение – х _ист. Результатом n измерений, проведенных соответствующим прибором, является ряд её значений: х₁, х₂, х₃,…, х_n.

Разность между полученным х _i и истинным х _ист значениями представляет собой случайную абсолютную погрешность отдельного измерения D х_{i =} х_i- х _ист. Причём из теории ошибок следует, что при большом числе измерений (большом n) ошибки одной и той же величины, но разного знака встречаются одинаково часто. Посмотрим, к чему это приводит. Представим полученные нами значения х _i через х _ист и D х_i и сложим получившиеся соотношения:

х₁ = х_ист. + D х₁;

х₂ = х_ист. + D х₂;

……………….

х_n = х_ист. + D х_n;

_____________

= nx_ист. + .

Отсюда найдем истинное значение измеряемой величины:

x_ист = - .

Поскольку при большом числе измерений n ошибки равные по величине, но разные по знаку встречаются одинаково часто, то сумма абсолютных ошибок не растет с увеличением n, а лишь колеблется вблизи нуля, поэтому с увеличением n слагаемое уменьшается и стремится к нулю при n ® ¥. Следовательно, при очень большом количестве измеренийистинное значение измеряемой величины практически совпадает со средним арифметическим всех полученных значений:

x_ист = = .

Однако при любом ограниченном количестве проведенных измерений n истинное значение х _ист будет отличаться от найденного среднего арифметического значения – х ¹ х _ист. –, необходимо оценить величину этого различия.

К решению данного вопроса можно подойти следующим образом. В связи с влиянием случайных ошибок на результаты измерений некоторой физической величины Х ряд полученных в эксперименте её значений х₁, х₂, х₃ …, х_n можно рассматривать как выборку из генеральной совокупности, которой соответствует
n ® ¥ и математическое ожидание которой – М_г (Х) = _г = х _ист. – надо найти (предполагается, и теория ошибок это подтверждает, что результаты измерений в генеральной совокупности распределены по нормальному закону).

Полученной выборке, естественно, соответствует свое среднее арифметическое значение:

= .

Тогда с определенной доверительной вероятностью g можно утверждать, что х _ист. лежит в доверительном интервале, построенном около , а полуширина этого интервала при n < 30 рассчитывается по известной формуле:

D х = t _{g , n} . (36)

Следовательно х _ист. = ± D х, или - D х < х_ист. < + D х. (37)