Нормальный закон распределения случайных величин

Нормальный закон распределения(закон Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Во-первых, это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения непрерывных случайных величин. Во-вторых, он являетсяпредельным законом в том смысле, что к нему при определенных условиях приближаются другие законы распределения.

Нормальный закон распределения характеризуется следующей формулой для плотности вероятности:

, (26)

где х – текущие значения случайной величины X; М (X) и s – ее математическое ожидание и стандартное отклонение. Из (26) видно, что если случайная величина распределена по нормальному закону, то достаточно знать только два числовых параметра: М (Х) и s, чтобы полностью знать закон ее распределения.

График функции (26) называется нормальной кривой распределения (кривой Гаусса). Он имеет симметричный вид относительно ординаты х = М (Х). Максимальная плотность вероятности, равная » , соответствует математическому ожиданию М (Х) = ; по мере удаления от нее плотность вероятности f (х) падает и постепенно приближается к нулю (рис. 5).

Величина М (Х) называется также центром рассеяния. Среднеквадратичное отклонение s характеризует ширину кривой распределения.

При изменении значения М (Х) в (26) нормальная кривая не меняется по форме, но сдвигается вдоль оси абсцисс. С возрастанием s максимальная ордината кривой убывает, а сама кривая, становясь более пологой, растягивается вдоль оси абсцисс, при уменьшении sкривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков. Вид кривой распределения при разных значениях s:(s₃<s₂<s₁) показан на рис.6.

Естественно, что при любых значениях М (Х) и s площадь, ограниченная нормальной кривой и осью Х, остается равной 1 (условие нормировки):

f (х) dх = 1, или f (х) dх = 1.

Нормальное распределение симметрично, поэтому
М (Х) = Мо (Х) = Ме (Х).

Вероятность попадания значений случайной величины Х в интервал (x ₁, x ₂), т.е. Р (x ₁ < Х< x ₂), равна:

Р (x₁ < Х < x₂) = . (27)

На практике часто приходиться вычислять вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины на участки, симметричные относительно М (Х). В частности, рассмотрим следующую, важную в прикладном отношении задачу. Отложим от М (Х) вправо и влево отрезки, равные s, 2s и 3s (рис. 7) и проанализируем результат вычисления вероятности попадания Х в соответствующие интервалы:

Р (М (Х) – s <Х<М (Х) + s) = 0,6827 = 68,27 %. (28)

Р (М (Х) – 2s <Х<М (Х) + 2s) = 0,9545 = 95,45 %. (29)

Р (М (Х) – 3s <Х<М (Х) + 3s) = 0,9973 = 99,73 %. (30)

Из (30) следует: практически достоверно, что значения нормально распределенной случайной величины Х с параметрами М (Х) и s лежат в интервале М (Х) ± 3s. Иначе говоря, зная М (Х) = и s, можно указать интервал, в который с вероятностью Р = 99,73% попадают значения данной случайной величины. Такой способ оценки диапазона возможных значений Х известен как «правило трех сигм».

Пример. Известно, что для здорового человека р Н крови является нормально распределенной величиной со средним значением (математическим ожиданием) 7,4 и стандартным отклонением 0,2. Определите диапазон значений этого параметра.

Решение: для ответа на этот вопрос воспользуемся “правилом трех сигм”. С вероятностью равной 99,73% можно утверждать, что диапазон значений р Н для здорового человека составляет 6,8 – 8.

Задачи

Задают ли законы распределения дискретной случайной величины следующие таблицы?

1) 2)

Х						Х
Р	0,1	0,4	0,3	0,2		Р	0,1	0,2	0,3	0,5

Ответ: закон распределения задает только первая таблица

Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

Х
Р	Р 1	0,15	Р 3	0,25	0,35

Найдите вероятность р ₁= Р (Х =3) и р ₃= Р (Х =5), если известно, что р ₃ в 4 раза больше р _1..

2) Получив ответ на первый вопрос, постройте многоугольник распределения.

Ответ: р ₁=0,05; р ₃=0,2

Плотность распределения случайной величины Х задана функцией

Найдите вероятность того, что значение случайной величины Х принадлежит интервалу (2, 3).

Ответ: 0,2

График плотности распределения вероятностей случайной величины Х изображен на показанном ниже рисунке.

Запишите аналитическое выражение для плотности вероятностей.

Ответ: f (x) = 0 при | x | > 1
f (x) = x +1 при –1< x ≤0
f (x) = - x +1 при 0< x ≤1)

Найдите математическое ожидание дискретной случайной величины, закон распределения которой задан таблицей

Х
Р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Ответ: 5

Плотность распределения вероятностей случайной величины Х задана функцией:

Найдите математическое ожидание случайной величины Х.

Ответ: 1,5.

Длительность жизненного цикла (в днях) для некоторого растения является случайной величиной Х с функцией плотности вероятности f(x) = при 0≤ х ≤ 200 и f (х) = 0 при любых других значениях х. Определите среднюю длительность жизненного цикла у этого растения.

Ответ: 133,3 дня.

Дискретная величина Х имеет закон распределения:

Х		0,4	0,6	0,8
Р	0,1	0,2	0,4	Р4	0,1

Чему равна вероятность р ₄?

Найдите математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение и моду этой случайной величины.

Ответ: р ₄=0,24; М (Х)=0,58; D (X)=0,068; s(Х)=0,26; Мо =0,6).

Экспериментальная операция длится не менее 4 мин., но для ее завершения никогда не требуется более 10 мин. Определим случайную величину Т как время, необходимое для выполнения операции и допустим, что функция плотности вероятности для Т имеет вид: f (t) = k (t –4) × (10 – t) на интервале 4 £ t £ 10. Найдите значение постоянной k для этой f (t).

Ответ: 1/36.

Найдите числовые характеристики М (Х), D (Х), s(Х) непрерывной случайной величины Х, заданной плотностью вероятности:

f (х) =

Ответ: М (Х) = 2/3; D (Х) = 1/18; s(Х)» 0,24.

Запишите плотность распределения для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, если М (Х) = 3, D (Х) = 4.

Ответ:

Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием М (Х) = 10. Вероятность попадания Х в интервал (10,20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0,10)?

Ответ: 0,3.

Длина интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадают значения некоторой случайной величины, распределенной нормально, равна 30 ед. длины. Найдите стандартное отклонение.

Ответ: 5 ед. длины.

Диастолическое давления крови у женщин, страдающих гипертонической болезнью, в среднем равно 95 мм рт. ст., стандартное отклонение – 15 мм рт.ст. Определите интервал возможных значений этой величины, считая, что она распределена по нормальному закону.

Ответ: (50 – 140)мм рт.ст.

Считая, что случайная величина Х – диаметр лекарственной таблетки – распределена по нормальному закону с параметрами = 10 мм, s = 0,1 мм, найдите интервал, в котором с вероятностью 95,45 % будут заключены эти диаметры. Если в партии 3000 таблеток, то сколько из них окажется в этом интервале?

Ответ: (9,8 – 10,2)мм; 2864 табл.