Независимые случайные события. Теорема умножения вероятностей

Случайные события называются независимыми, если появление одного из них никак не влияет на вероятность появления других событий.

Пример 1. Если есть две или более урны с цветными шарами, то извлечение какого-либо шара из одной урны никак не повлияет на вероятность извлечения других шаров из оставшихся урн.

Для независимых событий справедлива теорема умножения вероятностей: вероятность совместного (одновременного) появления нескольких независимых случайных событий равна произведению их вероятностей:

Р(А₁и А₂ и А₃ … и А_k) = Р(А₁) ∙Р(А₂) ∙…∙Р(А_k). (7)

Совместное (одновременное) появление событий означает, что происходят события и А₁, и А_{2 ,} и А₃ … и А_k.

Пример 2. Есть две урны. В одной находится 2 черных и 8 белых шаров, в другой – 6 черных и 4 белых. Пусть событие А –выбор наугад белого шара из первой урны, В – из второй. Какова вероятность выбрать наугад одновременноиз этих урн по белому шару, т.е. чему равна Р (А и В)?

Решение: вероятность достать белый шар из первой урны
Р (А) = = 0,8 из второй – Р (В) = = 0,4. Вероятность одновременно достать по белому шару из обеих урн –
Р (А и В) = Р (А)· Р (В) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Пример 3. Рацион с пониженным содержанием йода вызывает увеличение щитовидной железы у 60% животных большой популяции. Для эксперимента нужны 4 увеличенных железы. Найдите вероятность того, что у 4 случайно выбранных животных будет увеличенная щитовидная железа.

Решение:Случайное событие А – выбор наугад животного с увеличенной щитовидной железой. По условию задачи вероятность этого события Р (А) = 0,6 = 60%. Тогда вероятность совместного появления четырех независимых событий – выбор наугад 4 животных с увеличенной щитовидной железой – будет равна:

Р (А ₁ и А ₂ и А ₃ и А ₄) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)⁴ ≈ 0,13 = 13%.