Математическая статистика 3 страница

Контроль: , .

В столбцах 6-10 подсчитаны числа, нужные при выполнении следующих пунктов задачи.

3.4 Для наглядности статистические ряды представляют графиками и диаграммами. Наиболее распространенными графиками являются полигон и гистограмма. Полигон применяют для изображения как дискретных, так и интервальных статистических рядов, гистограмму применяют для изображения только интервальных рядов.

Строим полигон относительных частот (рисунок 1) по данным столбцов 5 и 10 (см. таблицу 3).

Рисунок 1.

Замечание 5. Полигон относительных частот (частот)―ломаная, звенья которой соединяют точки .

По данным столбцов 2 и 9 таблицы 3 строим гистограмму относительных частот (см. рисунок 2).

Гистограмма относительных частот (частот)―ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы , а высоты равны отношению ―плотности относительной частоты .

Рисунок 2

Площадь гистограммы относительных частот равна .

По гистограмме и полигону относительных частот можно судить о форме эмпирической кривой распределения ― графике функции (эмпирической плотности вероятности).

3.5 По данным таблицы 3 (стб. 2 и 7) найдем эмпирическую функцию распределения

.

Таблица 4 ―Эмпирическая функция распределения

Х	13,32	13,37	13,42	13,47	13,52	13,57	>13,62

Построим график : сначала на интервалах и , а затем в указанных в таблице 4 точках. Учитывая непрерывность функции , полученные точки соединим (рисунок 3).

Рисунок 3

3.6 Находим по формуле

, (2)

где ―середина i -го интервала;

―его частота;

n ―объём выборки (таблица 3, стб. 4 и 10).

.

Вычислим по формуле

. (3)

.

.

Замечание 6. Вычислить средние арифметические наблюдаемых значений случайных величин Х и можно по формулам

, (данные в таблице 2).

3.7 Полигон и гистограмма относительных частот (см. рисунки 1 и 2) напоминают нормальную кривую (кривую Гаусса, рисунок 4). Поэтому предположим, что распределение СВ Х (диаметра головки заклепки) является нормальным.

3.8 Плотность вероятности и функция распределения СВ Х, распределённой по нормальному закону, имеют вид:

, (4)

. (5)

Найдем точечные оценки параметров а=М(Х) и нормального распределения:

(6)

Замечание 7. Значение числовой характеристики, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, называют её оценкой. Статистическую оценку, которая определяется одним числом, называют точечной.

Любая из таких оценок случайна, при пользовании ею возможны ошибки. Желательно выбрать такую оценку, чтобы эти ошибки были минимальными.

Чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых характеристик, они должны удовлетворять определенным требованиям. Укажем эти требования.

Пусть наблюдаемые значения СВ Х и обозначим через оценку характеристики , вычисленную на основе этого статистического материала.

Оценку называют состоятельной, если для любого при .

Будем называть несмещенной оценкой характеристики , если при любом .

Эффективной называют оценку , которая при заданном объеме выборки имеет наименьшую дисперсию .

,

и ― точечные оценки соответственно для и , они удовлетворяют указанным выше требованиям.

Следовательно, плотность вероятности предполагаемого распределения имеет вид: , её график изображен на рисунке 4,

Рисунок 4

и функция распределения

(учли формулы 4, 5 и 6).

3.9 Проведем проверку гипотезы о нормальном распределении СВ Х― диаметра головки заклепки.

Вероятность попадания СВ Х, распределенной по закону , в интервал найдем по формуле

, (7)

где ―функция Лапласа (если выбрать , то в формуле (7) отсутствует множитель ).

Вероятность попадания СВ Х в первый частичный интервал равна (учтем, что ):

.

― вероятность

попадания СВ Х в .

― вероятность

попадания СВ Х в .

― вероятность

попадания СВ Х в .

― вероятность

попадания СВ Х в .

― вероятность

попадания СВ Х в .

1 Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия согласия – Пирсона. Вычисления, необходимые для определения наблюдаемого значения выборочной статистики , проведем в таблице 4.

Таблица 4 ― Определение выборочной статистики

Интервалы наблюдаемых значений СВ Х	Частота
		0,17105	15,3945	29,1006	1,8903
		0,22255	20,0295	168,2339	8,3993
		0,2655	23,895	15,1710	0,6349
		0,20305	18,2745	10,7223	0,5867
		0,0995	8,955	8,7320	0,9751
		0,03835	3,4515	6,4948	1,8817

Из таблицы распределения по уровню значимости (см. таблицу 1) и числу степеней свободы (k ―число интервалов, r ―число параметров распределения) находим . Так как , то отклоняем гипотезу о нормальном распределении диаметров головок заклепок.

2 Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия согласия – Колмогорова.

Все вспомогательные расчеты, необходимые для нахождения выборочной характеристики , сведем в таблицу 5.

Таблица 5―Нахождение выборочного значения

Интервалы наблюдае-мых зна-чений СВХ	Час-тота
			0,17105		0,17105	0,0599
			0,22255		0,3936	0,0842
			0,2655		0,6591	0,0409
			0,20305		0,86215	0,0045
			0,0995		0,96165	0,0283
			0,03835
		―	―	―	―	―

,

По таблице квантилей распределения Колмогорова [1, приложения] и уровню значимости (надежность ) находим критическое значение .

Так как , то нет оснований для отклонения гипотезы о нормальном распределении диаметров головок заклепок.

3.10 Замечание 8. При выборке малого объёма точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемой характеристики. По этой причине при небольшом объёме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами ― концами интервала. Интервальные оценки позволяют обеспечить точность и надежность. Выясним смысл этих понятий.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра . Ясно, что тем точнее определяет параметр , чем меньше , т. е. если и , то чем меньше , тем оценка точнее (положительное число характеризует точность оценки).

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству , можно лишь говорить о вероятности Р, с которой это неравенство выполняется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки параметра по называют вероятность ( ―уровень значимости), с которой осуществляется неравенство . Обычно надежность оценки задают, причем в качестве Р берут число близкое к единице:

.

Заменив неравенство равносильными ему или , имеем

.

Это равенство следует понимать так: вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна .

Доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Доверительный интервал, накрывающий математическое ожидание СВ Х с надежностью имеет вид:

. (8)

По таблице квантилей распределения Стьюдента [1, приложения] по заданному уровню значимости и числу степеней свободы найдем квантиль

.

Вычислим точность оценки

.

Искомый доверительный интервал для М(Х)=а (неравенства (8)):

.

Полуинтервал накрывает неизвестное М(Х) с вероятностью .

Доверительный интервал, накрывающий среднее квадратическое отклонение СВ Х с надежностью :

(9)

или короче ,

где .

По таблице распределения [1, приложения] по заданной доверительной вероятности и числу степеней свободы найдем числа , .

Искомый доверительный интервал для параметра :

.

Интервал накрывает неизвестное с вероятностью .

3.11. Из таблицы 1 имеем . Надо проверить нулевую гипотезу : против альтернативной .

Замечание 9. Правило 1. Чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу (о равенстве СВ Х, распределенной по закону , предполагаемому значению ) при альтернативной гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение U-критерия

(10)

и по таблице значений функции Лапласа [1, приложения] найти критическое значение двусторонней критической области из равенства

.