В. 5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела

Пусть f(x) и j (x) – функции, для которых существуют пределы при х ® х₀ (¥):

, .

Тогда имеют место следующие теоремы о пределах:

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций:

.

3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю):

(B ¹ 0)

5. Если , то предел сложной функции:

.

6. Если в некоторой окрестности точки х₀ (или при достаточно больших х) f(x) < j(x), то:

Использовать эти теоремы для выяснения существования предела не всегда удобно. Проще сделать это с помощью признаков существования предела:

Теорема 1. Если числовая последовательность { a _n} монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Возможны два случая: а) последовательность неубывающая и ограничена сверху – a₁ £ a₂ £ a₃ £ …£ a_n £ …M; б) последовательность невозрастающая и ограничена снизу – a₁ ³ a₂ ³ a₃ ³ … ³ a_n ³ …M;

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки х₀ (или при достаточно больших х) функция f(x) заключена между двумя функциями φ(х) и y(х), имеющими одинаковый предел А при х ® х₀ (¥), то функция f(x) имеет тот же предел А.