В.2. Предел функции

Число А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к бесконечности (пределом функции в бесконечности), если для любого e > 0 найдется такое S > 0, что для всех | х | > S верно неравенство | f(x) – A | < e.

Предел функции обозначается f(x) = A, или f(x) ® A при х ® ¥ ().

(A = f(x) Û ("e > 0 $ S = S(e) > 0: " x: | x | > S | f(x) – A | < e).

Смысл определения: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа А.

Число А называется пределом функции f(x) при х ® х₀, (в точке х₀), если для

"e > 0 $ d = d(e) > 0: " x ¹ x _0, | х – x₀ | < d выполняется неравенство | f(x) – A | < e.

Смысл определения: для всех значений х, достаточно близких к х₀, значения f(x) как угодно мало отличаются от числа А.

Замечание 1. Определение предела не требует существования функции в самой точке х₀, поскольку предполагается, что х стремится к х₀, но не достигает значения х₀. Поэтому наличие или отсутствие предела при х ® х₀ определяется поведением функции в окрестности точки х₀, но не связано с существованием функции в самой точке х₀.

Замечание 2. Если при х ® х₀ х принимает только значения, меньшие х₀, и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об одностороннем пределе функции слева: f(x) = A.

Аналогично, если при х ® х₀ х > х₀, то говорят об одностороннем пределе функции справа, т.е: f(x) = A

При этом, если f(x) = f(x) = А, то f(x) = A.