Закон распределения двумерной случайной величины

Y	X
x 1	x 2	…	xi	…	xn	pyj
y 1	p 11	p 21	…	pi 1	…	pn 1	py 1
y 2	p 12	p 22	…	pi 2	…	pn 2	py 2
…	…	…	…	…	…	…	…
yj	p 1 j	p 2 j	…	pij	…	pnj	pyj
…	…	…	…	…	…	…	…
ym	p 1 m	p 2 m	…	pim	…	pnm	pym
pxi	px 1	px 2	…	pxi	…	pxn

Интегральная функция распределения двумерной случайной величины (X, Y) есть вероятность совместного выполнения неравенств X < x и Y < y, т.е.

F (x, y) = P (X < x, Y < y).

Двумерная случайная величина непрерывного типа может быть задана интегральной или дифференциальной функцией распределения. Если интегральная функция распределения всюду непрерывна и имеет непрерывную смешанную частную производную второго порядка, то дифференциальная функция распределения системы двух случайных величин (X, Y) определяется по формуле

.

Плотность распределения отдельных случайных величин, входящих в систему, выражается через плотность системы случайных величин следующим образом:

.

Условный закон распределения случайной величины, входящей в систему, есть закон ее распределения, полученный в предположении, что другая случайная величина приняла определенное значение. Для системы случайных величин дискретного типа условные законы распределения имеют вид:

.

Условные математические ожидания (условные средние) дискретных случайных величин:

Условные распределения показывают, что одна СВ реагирует на изменение другой изменением своего закона распределения. Такая общая зависимость называется стохастической (вероятностной) и достаточно сложна для изучения. Однако зависимость условного среднего одной СВ от значений другой является функцией, которая называется регрессией: – регрессия Y на X, – регрессия X на Y. Но и функции регрессии в общем случае достаточно сложны, поэтому используют различные их приближения, например линейной функцией (наилучшей в смысле наименьшего значения среднего квадрата отклонения). Это значит, что для регрессии Y на X, функция приближается линейной функцией y = ax + b:

.

Запишем уравнения таких наилучших линейных регрессий.

Для регрессии Y на X это уравнение:

,

а для регрессии X на Y:

,

где , , , .

Коэффициент корреляции

характеризует близость (или тесноту) связи между случайными величинами к линейной.

Отметим, что всегда . Если , то СВ называются некоррелированными и в этом случае их условные средние значения являются постоянными, т.е. не зависят от значений другой СВ, что характеризует их слабую взаимозависимость. Если (угол между прямыми наилучших линейных регрессий близок к прямому), связь между случайными величинами достаточно слабая и нелинейная. Если (угол близок к нулю), то связь сильная и близка к линейной. В случае промежуточного значения r_xy (и угла) связь достаточно сильна и существенно нелинейная.