Дифференциалдық есептеулердің негізгі теоремалары

Анықтама. Егер нүктесінің маңайында теңсіздігі орындалса, онда нүктесін функциясының минимум (максимум) нүктесі деп атайды.

Минимум және максимум нүктелері экстремум нүктелері деп аталады. Ал осы нүктелердегі функцияның мәні функцияның экстремумы деп аталады.

кесіндісінде анықталған функцияның тек қана бір ең үлкен және ең кіші мәндері болады, ал максимумдар және минимумдер бірнеше болуы мүмкін. Функцияның кейбір максимумдары оның минимумдарынан кіші болуы да мүмкін.

Ферма теоремасы. Егер функциясы интервалында дифференциалданатын болса және нүктесінде ең үлкен немесе ең кіші мәнін қабылдайтын болса, онда функцияның туындысы бұл нүктеде нөлге тең, яғни . Геометриялық мағынасы: функцияның максимум және минимум нүктелерінде жүргізілген жанама өсіне параллель болады.

Роль теоремасы. Егер функциясы: кесіндісінде үзіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса және болса, онда ең болмағанда бір нүктесі табылып, болады.

Геометриялық мағынасы: егер теорема шарттары толығымен орындалса, онда кесіндісінде жататын ең болмағанда бір нүктесі табылып, сол нүктеде жүргізілген жанама өсіне параллель болады.

Kоши теоремасы. Егер және функциялары кесіндісінде үзіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса және , онда ең болмағанда бір нүктесі табылып теңдігі орындалады. Лагранж теоремасы. Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса онда интервалында жататын нүктесі табылып, теңдігі орындалады. Геометриялық мағынасы:мына қатынас кесіндісінде функциясының графигінің шеткі нүктелерін қосатын хорданың өсінің оң бағытымен жасайтын бұрыштың тангесіне тең, ал нүктесіне жүргізілген жанаманың өсінің оң бағытымен жасайтын бұрышының тангенісіне тең. Лагранж теоремасы бойынша нүктесінде олар өзара тең болады, яғни қиюшы мен жанама параллель болады.

Лопиталь ережесі. Бұл ереже немесе анықталмағандықтарын есептеуге мүмкіндік береді.

Теорема. Айталық, нүктесінің маңайында және функциялары анықталған және дифференциалданатын болсын (нүктенің өзінде бұл шарттар орындалмауы да мүмкін) және , , .

Егер шегі бар болса, онда шегі бар болады және мына теңдік орындалады: = . Осы сияқты тұжырымдар , , , , жағдайларда да орынды.

1-мысал. ;

2-мысал. Лопиталь ережесін бірнеше рет қолдануға да болады:

Лопиталь ережесін анықталмағандықтардың мына түрлеріне де қолдануға болады . Ол үшін оларды немесе түрлеріне келтіру керек.

1. Егер көбейтіндісінде ш.а., ал ш.ү. шамалар болса, онда оларды төмендегідей түрлендіріп, немесе содан соң Лопиталь ережесін қолданады.

2. Екі ш.ү. функциялар айырмасы , яғни анықталмағандығы былай түрлендіріледі бұл өрнекке Лопиталь ережесі қолданылады.

Әдебиеттер: 1 нег.[238-254], 11 қос. [375-377], [385-390].

Бақылау сұрақтар:

1. Жоғары ретті туындының анықтамасын беріңіз.

2. Жоғары ретті дифференциалдың анықтамасын беріңіз.

3. Роль теоремасы және оның геометриялық мағынасы.

4. Лагранж теоремасы және оның геометриялық мағынасы.

5. Лопиталь ережесі қандай анықталмағандықтарды есептеуге мүмкіндік береді?