Несобственные кратные интегралы. Интеграл Пуассона

Кратный интеграл будем называть несобственным, если область интегрирования, или подынтэгральная функция являются неограниченными.

def. Пусть – интегрируема на каждой замкнутой ограниченной области и. Несобственным интегралом от функции по области называется и обозначается. Если этот предел конечный и не зависит от выбора последовательности, то несобственный интеграл называется сходящимся.

Пример1. Исследовать на сходимость
.

► Пусть. Имеем

.

Интеграл сходится, если . ◄

Пример2. Вычислить интеграл Пуассона

► Исследуем интеграл на сходимость. Сделаем замену . Имеем , , . Поскольку – ограниченная на первообразная, и функция , то, согласно признаку Дирихле, интеграл Пуассона сходится.

Далее займёмся его вычислением. Если, то, а поэтому, или. При, где – несобственный двойной интеграл. Вычислим НИ как, где.

Переходя к полярным координатам, имеем

=

Таким образом,. ◄à