Пример 2.16

Дюрация облигации в купонных периодах равна 7,4 года. Купоны выплачиваются два раза в год. Определить дюрацию в годах.

Она равна:

Запишем формулу (2.30), обозначив дюрацию через D.

(2.34)

Величину называют модифицированной дюрацией. Обозначим ее через D_m. Тогда формула (2.34) примет вид:

(2.35)

Модифицированная дюрация говорит о том, на сколько процентов изменится цена облигации при изменении доходности до погашения на небольшой процент. Эта зависимость станет более наглядной, если уравнение (2.35) представить следующим образом:

(2.36)

Продолжим пример 2.15 и рассчитаем модифицированную дюрацию для облигации, если дюрация Макоули, как мы определили, равна 2, 74 года.

лет

Модифицированная дюрация измеряется в купонных периодах. Если купоны выплачиваются один раз в год, то значение модифицированной дюрации означает количество лет. Если купоны выплачиваются m раз в год, то модифицированную дюрацию в годах можно определить по следующей формуле:

(2.37)

где m – число периодов, за которые выплачиваются купоны.

На рис.2.8 представлено решение примера 2.15 с использованием стандартных финансовых функций Excel.

Рис. 2.8. Экранная форма решения примера 2.15

Продолжая пример 2.15, определим, на какую величину в процентах изменится цена облигации при повышении доходности до погашения на 1%. Она равна:

или 2,49%.

Как мы рассчитали выше, действительное падение составило 2,44%. Преобразуем уравнение (2.35) следующим образом:

(2.38)

Выражение в правой части уравнения (2.38) называют дюрацией в денежном выражении. Если мы умножим обе части уравнения (2.38) на dr, то получим уравнение:

(2.39)

Уравнение (2.39) позволяет определить изменение цены облигации при изменении доходности до погашения на небольшую величину.

В примере 2.15 D_m = 2,49 и Р = 1000000 руб. Тогда при росте доходности до погашения облигации на 0,01% ее цена изменится согласно уравнению (2.39) на:

руб.

Действительное изменение цены в этом случае составляет 248,64 руб. Таким образом, при малых изменениях доходности до погашения формула (2.37) дает хорошее приближение величины изменения цены облигации. Графически дюрация представлена на рис. 2.9. Она представляет собой угол наклона касательной к графику цены облигации. Как следует из рис. 2.9, для больших изменений доходности до погашения облигации дюрация дает значительную погрешность. Поскольку дюрация представлена касательной к кривой цены, то при падении доходности до погашения она занижает действительное изменение цены облигации, а при росте доходности до погашения – завышает. Так, при падении доходности с r до r ₁ цена облигации вырастет на величину (P ₁¹ – Р), дюрация же даст оценку увеличения только на величину (P ₁ – Р). При росте доходности до погашения с r до r ₂ цена облигации понизится только на величину (P – Р ₂). Дюрация даст более значительную оценку изменения цены на величину (Р – Р ₂¹).

Рис. 2.9. Графическое изображение дюрации

Дюрация, в том числе модифицированная, имеет следующие характеристики:

1) Она меньше времени до погашения облигации или равна ей в случае облигации с нулевым купоном. Модифицированная дюрация бескупонной облигации также меньше времени до ее погашения.

2) Как правило, чем меньше купон облигации, тем больше дюрация, так как больший уддельный вес выплат по облигации приходится на момент ее погашения. Чем выше купон облигации, тем меньше ее дюрация.

3) При прочих равных условиях, чем больше время до погашения облигации, тем больше дюрация.

4) Чем больше дюрация, тем выше риск изменения цены облигации.

5) При повышении доходности до погашения дюрация уменьшается, при понижении доходности до погашения дюрация возрастает.