Развитие понятия о числе

Определение 1. Множество называется замкнутым относительно операции, если результат применения этой операции к элементам множества тоже оказывается элементом этого множества.

Примеры. Натуральные числа . Очевидно, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения , но незамкнуто относительно операций вычитания и деления, т.е. на этом множестве не всегда решаются уравнения типа и .

Множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения, умножения и вычитания, но по-прежнему не замкнуто относительно операции деления.

Определим множество рациональных чисел , как множество чисел вида , где , , или, что то же самое, как множество бесконечных периодических десятичных дробей.

Замечание. По определению . Учитывая это, в дальнейшем будем считать, что период не состоит из одних нулей.

Множество рациональных чисел замкнуто относительно операций . Однако ещё Пифагор заметил, что среди рациональных чисел нет числа, обозначающего диагональ прямоугольного треугольника с единичными катетами. Другими словами, имеет место следующая теорема.

Теорема 1. (Теорема Пифагора) На множестве рациональных чисел нельзя решить уравнение .

. Пусть решение этого уравнения есть рациональное число , причём числа и взаимно просты, т.е. дробь несократима. Тогда или . Значит, является чётным числом, тогда тоже чётное, т.е. . Тогда или . Значит, - чётное, тогда – чётное, т.е. . Получим . Таким образом, дробь сократима, что противоречит условию. ■

Замечание. Используя закон контрапозиции, доказать самостоятельно, что если - чётное, то и - чётное, а если - нечётное, то и – нечётное.

Таким образом, среди чисел вида нет корней уравнения (вообще можно показать, что уравнение , имеет только натуральные корни на множестве рациональных чисел). Все рациональные числа представимы в виде бесконечных периодических дробей, однако, легко показать, что существуют и бесконечные непериодические дроби. Покажем, например, что дробь (после запятой выписаны все натуральные числа) не является периодической.

. Пусть, начиная с -го места, эта дробь имеет период , состоящий из цифр, среди которых хоть одна цифра не есть нуль (см. замечание 1). Но среди натуральных чисел есть, например, число , число нулей в котором заведомо больше . ■

Вейерштрасс предположил, что числа вида и бесконечные непериодические дроби – это числа одной природы, которые ещё древние греки назвали иррациональными. Пополнив ими множество рациональных чисел, мы получим множество действительных чисел , определяемое как множество бесконечных десятичных (периодических или непериодических) дробей. Это множество замкнуто относительно операций сложения, умножения, вычитания и деления. Мы показали, что оно замкнуто относительно операции извлечения корня, если под корнем стоит неотрицательное действительное число, т.е. введение иррациональных чисел не замкнуло множество действительных чисел относительно операции извлечения корня (нельзя извлечь корень из отрицательного числа). Таким образом, мы ввели не все числа. Проблема заключается в том, что на действительной оси, как мы сейчас покажем, больше нет места.