Методы Рунге – Кутты решения задачи Коши для ОДУ первого порядка

Данные методы явного и неявного численного решения дифференциальных уравнений первого порядка были разработаны немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой в начале ХХ века. Методы Рунге — Кутты являются обобщением метода Эйлера, в котором для аппроксимации интеграла от функции f (x, y) применяются более точные численные методы.

Общая схема явных методов Рунге–Кутты заданного порядка заключается в получении приближений к значениям y (x_{i +1}) по формуле вида:

у_{i+ 1}= у_i + h× j (х_i,y_i, h), (12.10 a)

где аппроксимирующая функция j (х_i,y_i, h), является суммой q слагаемых:

, (12.10 б)

в которой:

…………………………………………….

. (12.10 в)

В (12.10 в) величины a_n, b_nj, с_n, (0< j < n £ q) – некоторые фиксированные числовые коэффициенты – параметры аппроксимирующей функции j (х_i,y_i, h). При построении методов Рунге–Кутты параметры функции j (х_i,y_i, h) подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок аппроксимации.

12.3.1. Метод Рунге-Кутта 2-го порядка (метод Хойна)

Точность явной формулы Эйлера можно существенно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла в правой части (12.6) более точной формулой интегрирования - формулой трапеций:

у_{i+ 1} = у_i + h [ f (х_i, y_i)+ f (х_{i+ 1}, y_{i+ 1})]/2, i = 0,1 ,...,n -1. (12.11)

Получаемая формула (12.11) является неявной относительно у_{i+ 1} - эта величина содержится и в левой и в правой частях формулы. Данное уравнение относительно у_{i+ 1} можно решать численно каким-либо известным итерационным методом, например, простой итерации. Однако, можно обойтись одной итерацией, на которой приближенное значение функции у _{( i+ 1)п} определяется в узле х_{i+ 1} с помощью обычной формулы Эйлера, а затем подставляется в формулу (12.11):

у _{(i+ 1)п}= у_i + h× f (х_i, y_i),

у_{i+ 1}= у_i +0,5 ×h× [ f (х_i,y_i) + f (х_{i+ 1} ,у _{(i+ 1)п})]. (12.12) Данный метод Рунге-Кутта 2-го порядка называют методом Хойна или модифицированным методом Эйлера. Также встречается название метод Гюна. Он является усовершенствованием метода Эйлера, при котором за счет более точной аппроксимации интеграла в правой части уравнения (12.6), погрешность метода пропорциональна уже квадрату шага интегрирования. Как будет показано ниже, метод Хойна является простейшим случаем применения более общего метода прогноза и коррекции.