Простейший логический вывод

ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД НА ОСНОВЕ СУБЪЕКТИВНОЙ

ВЕРОЯТНОСТИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В СППР (ЭС)

1.1. Основные понятия и формулы, идея

Простейший логический вывод

Рассмотрим случай, когда все правила в экспертной системе отражаются в форме: " IF < H is true > THEN < E будет наблюдаться с вероятностью p > ".

Очевидно, если H произошло, то это правило говорит о том, что событие E происходит с вероятностью p. Но что будет, если состояние H неизвестно, а E произошло?

Использование теоремы Байеса позволяет вычислить вероятность того, что H истинно. В этом контексте:

H – событие, заключающееся в том, что данная гипотеза верна;

E – событие, заключающееся в том, что наступило определённое доказательство

(свидетельство), которое может подтвердить правильность указанной гипотезы.

Переписывая формулу Байеса в терминах гипотез и свидетельств, получим:

(1.1)

Это равенство устанавливает связь гипотезы со свидетельством и, в то же время, наблюдаемого свидетельства с пока ещё не подтверждённой гипотезой. Эта интерпретация предполагает также определение априорной вероятности гипотезы p (H), назначаемой H до наблюдения или получения некоторого факта.

В ЭС вероятности, требуемые для решения некоторой проблемы, обеспечивается экспертами и запоминается в БЗ. Эти вероятности включают:

§ априорные вероятности всех возможных гипотез p(H);

§ условные вероятности возникновения свидетельств при условии существования каждой из гипотез p(E | H).

Так, например, в медицинской диагностике эксперт должен задать априорные вероятности всех возможных болезней в некоторой медицинской области. Кроме того, должны быть определены условные вероятности проявления тех или иных симптомов при каждой из болезней. Условные вероятности должны быть получены для всех симптомов и болезней, предполагая, что все симптомы независимы в рамках одной болезни.

Два события E₁ и E₂ являются условно независимыми, если их совместная вероятность при условии некоторой гипотезы H равна произведению условных вероятностей при условии H, то есть

p(E₁ E₂ | H) = p(E₁| H) × p(E₂ | H) (1.2)

Пользователи дают ЭС информацию о наблюдениях (наличии определённых симптомов) и ЭС вычисляет p(H_i | E_j... E_k) для всех гипотез (H_i,... H_m) в свете предъявленных симптомов (E_j,... E_k) и вероятностях, хранимых в БЗ.

Вероятность p(H_i | E_j... E_k) называется апостериорной вероятностью гипотез H_i по наблюдениям (E_j,... E_k).

Эти вероятности дают сравнительное ранжирование всех возможных гипотез, то есть гипотез с нулевыми апостериорными вероятностями. Результатом вывода ЭС является выбор гипотезы с наибольшей вероятностью.

Однако, приведённая выше формула Байеса ограничена в том, что каждое свидетельство влияет только на одну гипотезу. Можно обобщить это выражение на случай множественных гипотез (H₁,... H_m) и множественных свидетельств (E₁,... E_n).

Вероятности каждой из гипотез при условии возникновения некоторого конкретного свидетельства E можно определить из выражения:

(1.3)

,

а в случае множественных свидетельств:

(1.4)

К сожалению данное выражение имеет ряд недостатков. Так, знаменатель требует от нас знания условных вероятностей всех возможных комбинаций свидетельств и гипотез, что делает правило Байеса малопригодным для ряда приложений.

Однако в тех случаях, когда возможно предположить условную независимость свидетельств, правило Байеса можно привести к более простому виду:

Вместе с тем предположения независимости в ряде случаев подавляют точности суждений и свидетельств в ЭС.