Матрицы и действия над ними. Обратная матрица

Матрицей называется прямоугольная таблица, содержащая чисел, имеющая строк и столбцов. Она обозначается

.

Числа называются элементами матрицы. Коротко эту матрицу обозначают так: . Здесь – номер строки, – номер столбца элемента . Матрицу иногда обозначают и так:

.

Если столбцы матрицы сделать строками с теми же номерами, то полученная матрица называется транспонированной и обозначается

.

Если в матрице число строк и число столбцов совпадают, то матрица называется квадратной:

.

Элементы образуют главную диагональ матрицы. Число называется порядком матрицы. Квадратной матрице можно поставить в соответствие число, называемое определителем матрицы, обозначаемое и равное

.

Матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, называется единичной и обозначается

.

Матрица, состоящая из одной строки, называется строчной и обозначается . Матрица, состоящая из одного столбца, называется столбцевой, например,

.

Пусть даны две матрицы с одинаковым числом строк и столбцов: Эти матрицы называются равными друг другу (при этом пишут или ), если все их соответствующие элементы равны друг другу, т. е. для всех

Суммой матриц и называется матрица, обозначаемая , элементы которой для всех значений . Это правило можно записать так: . Аналогично вводится понятие разности двух матриц.

Произведением матрицы на число l называется матрица, обозначаемая , элементы которой равны произведениям числа l на соответствующие элементы матрицы , т. е. . Иначе говоря, чтобы умножить матрицу на число l, нужно умножить на это число каждый её элемент (для сравнения заметим, что для умножения определителя на число нужно умножить на это число все элементы какого-либо ряда).

Умножение матриц. Даны матрица , имеющая строк и столбцов, и матрица , имеющая строк и столбцов. Произведением этих матриц называется матрица, обозначаемая ( – первая матрица), элементы которой определяются формулой

, , . (6)

Изобразим схематично эти матрицы и их произведение:

.

В формуле (6) первые индексы означают номера строки элемента матрицы, вторые – номера столбца элемента. Формула (6) показывает, что элемент -й строки и -го столбца матрицы равен сумме произведений элементов -й строки первой матрицы на соответствующие элементы -го столбца второй матрицы . Следовательно, чтобы получить элементы -й строки матрицы , нужно элементы -й строки умножить на соответствующие элементы первого столбца , и, сложив, найти . Умножив элементы -й строки на соответствующие элементы второго столбца и сложив, получим и т. д. Умножив элементы -й строки на соответствующие элементы -го столбца и сложив, получим .

Таким образом, элементы -й строки матрицы С получаются с помощью -й строки первой матрицы . Это относится к любой строке матрицы С. Поэтому ясно, что число строк С равно числу строк , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В, так как номер столбца элемента совпадает с номером столбца матрицы .

Аналогично найдём , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Если это не так, то произведения не существует. Если даже и существуют, то легко проверить на примерах, что, вообще говоря, .

Свойства умножения матриц. Пусть даны три матрицы , и . Тогда:

· ;

· .

Пусть – квадратная матрица, а – единичная матрица того же порядка, что и . Нетрудно проверить, что .

Обратная матрица. Пусть дана квадратная матрица

Определитель этой матрицы есть число

.

Пусть этот определитель не равен нулю и – алгебраическое дополнение для элемента .

Обратной к данной матрице называется матрица, обозначаемая и определяемая условиями Если то есть матрица вида

.

Отсюда видно, что для построения обратной матрицы для матрицы нужно:

· элементы матрицы заменить на их алгебраические дополнения;

· все эти дополнения поделить на – определитель матрицы ;

· полученную матрицу транспонировать.

Из приведенного определения видно, что для нахождения нужно вычислить определитель матрицы и все алгебраические дополнения для всех ее элементов.