Эллиптический и гиперболический параболоиды

Эллиптический параболоид – это поверхность, определяемая уравнением

(63)

где и – заданные положительные числа. Расcекая поверхность (63) плоскостью (), в сечении получим эллипс с полуосями и (см. рис. 38). Поверхность (63) пересекается с плоскостью () по параболе а с плоскостью () – по параболе При получим параболоид вращения ( – ось вращения).

Гиперболический параболоид – это поверхность, определяемая уравнением

(64)

где и – заданные положительные числа. Поверхность (64) пересекается с плоскостью () по параболе ветви которой направлены в положительную сторону оси (рис. 39). Рассекая поверхность (64) плоскостью , получим кривую, определяемую системой уравнений

или (65)

Первое уравнение запишем так: Оно определяет на плоскости параболу с ветвями, направленными в отрицательную сторону оси причём вершина параболы имеет координаты При изменении h парабола (65) описывает поверхность, определяемую уравнением (64). Гиперболический параболоид содержит два семейства прямолинейных образующих, определяемых системами уравнений

и

где и – произвольные постоянные. Доказательство проводится так же, как и для однополостного гиперболоида.