Методика розв’язання задач

1. Для визначення кінематичних характеристик точки твердого тіла, що здійснює обертальний рух необхідно:

а) за законом обертання тіла знайти кутову швидкість та кутове прискорення тіла:

, ;

б) обчислити кінематичні характеристики точки, яка знаходиться на відстані від осі обертання:

, , , ;

в) знайдені вектори , , , , вказати на рисунку.

2. Якщо механічна система складається з декількох тіл, які здійснюють поступальний та обертальний рухи, то поступаємо наступним чином:

2.1. Визначаємо кінематичні характеристики руху тіла, яке приводить в рух систему:

а) якщо заданий закон руху тіла, що здійснює прямолінійний поступальний рух, то його швидкість та прискорення знаходимо за формулами:

, . (1)

б) якщо заданий закон обертального руху тіла, то знаходимо його кутові швидкість та прискорення:

, . (2)

2.2. Визначаємо кутову швидкість тіла, зв’язаного нерозтяжною ниткою або фрикційною передачею з тілом, кутова швидкість якого відома:

а) коли поступальний рух тіла 1 викликає обертальний рух тіла 2 (або навпаки), то

, (3)

де – радіус тіла 2, що знаходиться у контакті з тілом 1, а – кутова швидкість тіла 2;

б) коли обертальний рух тіла 1 викликає обертальний рух тіла 2, то

, (4)

де та – радіуси коліс (блоків), між якими існує передача, та – проекції кутових швидкостей на вісь обертання. Знак мінус беремо, коли тіла обертаються в протилежних напрямах, тобто коли ремінна передача перехресна або блоки чіпляються один до одного зовнішніми поверхнями (зовнішнє зчеплення).

Зауважимо, що формули (3-4) є наслідком відсутності ковзання у місті контакту чи передачі обертального руху.

2.3. Беремо похідну за часом від рівняння (3) та (4) і отримуємо рівняння для визначення кутового прискорення:

, (5)

. (6)

2.4. Повторюємо п.2.2 та п.2.3 для кожної пари зв’язаних тіл.

Приклад 1. Знайти кутову швидкість та кутове прискорення диска, щообертається за законом (рад) навколо нерухомої осі, яка проходить через його центр перпендикулярно до його площини. Визначити лінійну швидкість, тангенціальне, нормальне та повне прискорення точки , що знаходитьсяна краю диска, радіус якого = 10 см, в момент часу = 1c.

Розв’язання. Знайдемо кутову швидкість за її визначенням, взявши першу похідну від кута повороту за часом

= – 4,

що на заданий момент часу дає

(1) = 8·1 – 4 = 4 рад/с,

Вектор кутової швидкості напрямлений перпендикулярно рисунку 2.5 до нас (обертання відбувається проти руху стріл ки годинника).

Кутове прискорення , знаходимо як, похідну від кутової швидкості за часом

= 8 рад/с².

Оскільки обидві величини додатні, вектори та мають однаковий напрям (рис. 2.5), то обертання диску прискорене.

Модуль вектора лінійної швидкості знайдемо за формулою

= 4·10 = 40 см/с.

Оскільки обертання в даний момент часу здійснюється проти руху стрілки годинника, то вектор лінійної швидкості спрямований по дотичній до траєкторії в сторону обертання (рис. 2.5).

Модуль тангенціального прискорення обчислимо за формулою

= 8·10 = 80 см/с²,

а його напрям зараз співпадає з напрямом вектора лінійної швидкості точки М оскільки (рис. 2.5).

Нормальне прискорення направлено від точки до центру диска, і його модуль обчислимо як

= 160 см/с².

Оскільки нормальна та тангенціальна складові прискорення взаємно перпендикулярні, то повне прискорення знаходимо як векторну суму (рис. 2.5)

,

а модуль повного прискорення знаходимо за теоремою Піфагора

= 179 см/с².

Відповідь: = 4 рад/с, = 8 рад/с², = 40 см/с, = 80 см/с²,
= 160 см/с², = 179 см/с².

Приклад 2. Вал електродвигуна, на який насаджено двохступеневий шків 1, обертається за законом (рад) і за допомогою пасової передачі (рис. 2.6) приводить в обертання блок 2. На зовнішній поверхні блоку 2 намотаний канат, до якого прикріплено вантаж 3.

Знайти кутові швидкості та прискорення тіл 1 та 2, лінійні швидкості і прискорення точок , та у заданий момент часу = 1 c, якщо = 32 см, = 16 см, = 32 см, = 16 см (індекси 1 і 2 позначають розміри відповідних тіл). Кут повороту вала двигуна вважати додатним при обертанні проти руху стрілки годинника.

Розв’язання. Знаючи закон зміни кута повороту вала з часом, знайдемо кутову швидкість та кутове прискорення шківа 1 на будь-який момент часу. Згідно визначенням цих величин:

,

.

Підставляючи в отримані вирази вказаний момент часу, отримуємо:

(1) = 2 рад/с, (1) = – 6 рад/с².

Додатне значення кутової швидкості означає, що шків 1 обертається проти руху стрілки годинника і вектор кутової швидкості спрямований перпендикулярно площині (рис. 2.7) до нас. (Нагадаємо, що вектор кутової швидкості розташований на осі обертання твердого тіла і лише для зручності малювання його винесено за межі шківу).

Протилежні знаки алгебраїчних значень кутової швидкості та кутового прискорення свідчать про те, що швидкість обертання зменшується за модулем, а вектор кутового прискорення спрямовано перпендикулярно площині рисунку від нас (протилежно до напряму вектора ).

Модуль лінійної швидкості точки знайдемо за формулою

= 2·16 = 32 см/с,

і, оскільки траєкторія цієї точки твердого тіла є коло, то вектор швидкості напрямлений по дотичній до траєкторії в напрямі обертання – в даному випадку праворуч догори (рис. 2.7).

Визначаємо модуль вектора тангенціального прискорення

= 6·16 = 96 см/с²,

а напрям цього вектора протилежний напряму швидкості, оскільки обертання сповільнене (рис. 2.7).

Нормальне прискорення обчислимо як

= 4·16 = 64 м/с².

Вектор цього прискорення завжди спрямований до осі обертання (рис. 2.7).

Модуль вектора повного прискорення точки знайдемо як

= 115,4 см/с²,

оскільки нормальне та тангенціальне прискорення взаємно перпендикулярні, а його напрям визначаємо за правилом складання векторів (рис. 2.7).

Для того, щоб визначити кінематичні характеристики блоку 2 та окремих точок на ньому розглянемо, яким чином його рух пов’язаний з рухом шківу 1.

Шків 1 зв’язаний з блоком 2 відкритою пасовою передачею. Будемо вважати, що пас не розтягується та не ковзає по поверхням шківу та блоку, та позначимо точки дотику пасу до поверхонь шківу та блоку як та (рис. 2.8). З умови нерозтяжності паса випливає

.

Для швидкостей цих точок маємо = та , і для визначення кутової швидкості блоку 2 отримуємо

.

Після диференціювання отриманого виразу знаходимо

.

Після підстановки даних задачі отримуємо:

= 2·(32/16) = 4 рад/с,

= 6·(32/16) = 12 рад/с².

Зверніть увагу на дві обставини:

1) множник, який зв’язує кутові характеристики двох тіл однаковий – він зветься передавальним числом,

2) у останніх розрахунках ми не беремо до уваги знаки кутових характеристик, оскільки напрями відповідних векторів легко визначити, користуючись здоровим глуздом (дивись рис. 2.7 та 2.8).

Тепер, знаючи та , визначаємо лінійні характеристики точок, які знаходяться на блоці 2:

= 64 см/с,

= 192 см/с²,

= 16·4² = 256 см/с²,

= = 320 см/с².

Напрями векторів та визначаються напрямами векторів та тіла 1, оскільки, в нашому прикладі пас між тілами 1 та 2 не змінює напряму обертання тіл 1 та 2 (така пасова передача називається відкритою). Якби передача була перехресна або фрикційна зовнішня, то напрями векторів кутової швидкості та кутового прискорення блоку 2 змінилися би на протилежні.

Що стосується швидкості та тангенціального прискорення точки , що знаходиться на вантажі 3, який здійснює прямолінійний рух, то вони, в нашій схемі, співпадають з відповідними величинами для довільної точки, що знаходиться на зовнішній поверхні блоку 2 (покажіть це самі), тому отримуємо:

= 32·4 = 128 см/с,

= 32·12 = 384 см/с².

Знайдені вектори кінематичних характеристик твердих тіл та точок на них і зображені на рис. 2.8.

Відповідь: = 2 рад/с, = – 6 рад/с², = 32 см/с, = 96 см/с²,
= 64 см/с², = 115,4 см/с²; = 4 рад/с, = 12 рад/с², = 64 см/с,
= 192 см/с², = 256 см/с², = 320 см/с², = 128 см/с, = 384 см/с².

Приклад 3. Вантаж 1 (рис. 2.9) під дією сили тяжіння починає рух за законом = 20 (час секундах, в сантиметрах, вісь спрямована вертикально вниз) і, за допомогою нерозтяжного тросу, який намотаний на зовнішню поверхню двохступеневого блоку 2, приводить його в рух. Таким чином блок 2 починає обертатися і, за допомогою фрикційної передачі, викликає обертання двохступеневого блоку 3.

Знайти кутові швидкості та прискорення блоків 2 та 3, лінійні швидкості і прискорення точок , та у заданий момент часу = 2 c, якщо = 50 см, = 40 см, = 30 см, = 20 см (індекси 2 і 3 відносяться до відповідних блоків).

Розв’язання. Знаючи закон поступального руху вантажу 1, знайдемо його швидкість та тангенціальне прискорення на будь-який момент часу:

= 40 , = 40.

Отож, прискорення вантажу стале і становить 40 см/с², а його швидкість визначаємо після підстановки заданого часу у попередній вираз, отож

= 40∙2 = 80 см/с.

Додатні знаки швидкості та прискорення вантажу означають, що він рухається вертикально вниз (рис. 2.10) та швидкість його зростає.

Обертальний рух блоку 2 обумовлений тим, що нерозтяжний канат, на якому підвішений вантаж, намотаний на його зовнішню поверхню. Всі точки канату на ділянці від точки дотику до блоку 2 () до точки закріплення на вантажу (А) (рис. 2.10), рухаються з однаковими швидкостями , звідки після диференціювання за часом отримуємо .

Але точка дотику канату до блоку 2 () також належить блоку 2, тому для неї можна записати

= та = ,

що дозволяє визначити кутову швидкість та кутове прискорення блоку 2:

= 80/50 = 1,6 рад/с,

= 40/50 = 0,8 рад/с².

Напрями векторів та очевидні – якщо вантаж рухається вниз прискорено, то блок 2 також прискорено обертається проти руху стрілки годинника і обидва вектори спрямовані перпендикулярно площині рисунку до нас (рис. 2.10) – нагадаємо, що ці вектори лежать на осі обертання блоку 2 і лише для зручності рисунку вони винесені за межі тіла.

Отриманні значення та дозволяють послідовно обчислити:

= 1,6∙40 = 64 см/с,

= 0,8∙40 = 32 см/с²,

= 1,6²∙40 = 102 см/с²,

та відобразити ці вектори на рис. 2.10.

Модуль повного прискорення точки В знаходимо за теоремою Піфагора

= = 107 см/с².

Для визначення кінематичних характеристик блоку 3 та точки М на ньому визначимо точку контакту цих блоків K 2 (рис. 2.11). Ця точка належить як блоку 2 так і блоку 3. Тому за умовою відсутності ковзання між поверхнями блоків можна записати:

,

звідки після диференціювання отримуємо

.

Таким чином знаходимо:

= 1,6∙(40/20) = 3,2 рад/с,

= 0,8∙(40/20) = 1,6 рад/с².

Очевидно, що блок 3 обертається за рухом стрілки годинника і вектори та спрямовані перпендикулярно площині рисунку від нас (рис. 2.11)

Модуль лінійної швидкості точки знайдемо як

= 3,2·30 = 96 см/с,

а її тангенціальне, нормальне та повне прискорення складуть:

= 1,6·30 = 48 см/с²,

= 3,2²∙30 = 307 см/с²,

= 311 см/с².

Відповідь: = 80 см/с, = 40 см/с², = 1,6 рад/с, = 0,8 рад/с²,
= 64 см/с, = 32 см/с², = 102 см/с², = 107 см/с², = 3,2 рад/с,
= 1,6 рад/с², = 96 см/с, = 48 см/с², = 307 см/с², = 311 см/с²