Вектор прискорення точки

Прискорення характеризує зміну швидкості з плином часу. Миттєве прискорення точки в даний момент часу визначається першою похідною за часом від вектора швидкості, або другою похідною за часом від радіус-вектора точки

. (1.14)

Вектор прискорення направлений по зміні вектора швидкості .

Коли рівняння руху точки задано в декартових координатах, то з формули (1.8), взявши похідну, отримуємо

, (1.15)

де , , - алгебраїчні проекції прискорення на декартові осі координат, які дорівнюють другим похідним за часом від відповідних координат точки або першим похідним за часом від проекцій швидкості на відповідні осі (рисунок аналогічний 1.6 зі зміною на ). Модуль вектора прискорення визначається за формулою

. (1.16)

Якщо в процесі руху точки прискорення залишається сталим, рух називається рівнозмінним, і для вектора швидкості та радіус-вектора отримуємо формули:

, (1.17)

, (1.18)

де та – значення швидкості та радіус-вектора точки в момент часу = 0.

У випадку натурального способу для вектора прискорення, після диференціювання (1.11) отримуємо вираз

. (1.19)

Отже, повне прискорення складається з двох взаємно перпендикулярних складових (рис. 1.8):

1) тангенціального прискорення , яке спрямоване вздовж дотичної до траєкторії і характеризує зміну швидкості за модулем

. (1.20)

Якщо алгебраїчне значення швидкості зростає (, рис. 1.8, а), то напрями і співпадають, а коли алгебраїчне значення швидкості зменшується, (, рис. 1.8, б) – напрями векторів і протилежні;

2) нормального прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямом

, (1.21)

де - орт, який перпендикулярний до вектора швидкості і направлений у той бік, куди повертається вектор швидкості (до центру дуги, по якій рухається точка), - радіус кривизни траєкторії.

Вектор повного прискорення направлений по діагоналі прямокутника, побудованого на векторах та (рис. 1.8), а його модуль

. (1.22)

Тангенціальне прискорення, яке є проекцією повного прискорення на вектор швидкості (рис. 1.8) можна визначити через скалярний добуток

= = .

З останнього рівняння отримуємо формулу для обчислення тангенціального прискорення через компоненти векторів швидкості та прискорення

= . (1.23)

Якщо відомі величини повного та тангенціального прискорень, то можна визначити нормальне прискорення точки

= = , (1.24)

та визначити радіус кривизни траєкторії

. (1.25)

Розглянемо окремі випадки руху точки:

– коли точка рухається прямолінійно (), а також у випадку криволінійного руху, в момент часу, коли миттєве значення швидкості , в цих випадках має місце лише тангенціальне прискорення, а вектор прискорення направлений до дотичній до траєкторії;

– коли величина швидкості стала, в цьому випадку прискорення має лише нормальну складову, і вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості і спрямований до центру кривизни траєкторії;

– коли точка рухається рівномірно та прямолінійно.

Контрольні запитання

1. Що вивчає кінематика?

2. В яких випадках тіло можна вважати точкою?

3. Які системи координат вам відомі? Запишіть формули перетворення координат від декартової до циліндричної, сферичної та навігаційної системи координат.

4. Що таке траєкторія руху точки? Які типи траєкторій вам відомі? Чи залежить форма траєкторії від системи відліку?

5. Які величини потрібно знати, щоб задати закон руху точки для векторного способу, координатного та природного способів описання?

6. Дайте означення вектора переміщення. Як знайти напрям та величину вектора миттєвої швидкості?

7. Як знайти компоненти вектора швидкості та його модуль у декартовій системі координат?

8. Як визначається миттєве прискорення точки? Як знайти напрям вектора миттєвого прискорення?

9. Який рух точки називається рівнозмінним? Запишіть формули для знаходження швидкості та положення точки при рівнозмінному прямолінійному русі.

10. Як за графіком залежності проекції швидкості від часу знайти значення відповідної проекції прискорення?

11. Як за графіком залежності проекції швидкості від часу знайти значення зміни відповідної координати точки?

12. Як знайти компоненти вектора прискорення та його модуль в декартовій системі координат?

13. Поясніть роль тангенціального прискорення у зміні швидкості.

14. Як знайти тангенціальне прискорення через компоненти швидкості та прискорення в декартовій системі координат?

15. Поясніть роль нормального прискорення у зміні швидкості.

16. Як знайти модуль повного прискорення?

17. Для якого руху точки по криволінійній траєкторії кут між векторами швидкості та прискорення: а) гострий? б) тупий? в) прямий?

18. Чи може повне прискорення точки у випадку криволінійного руху бути напрямленим по дотичній до траєкторії?