Основной закон теплопроводности

В основной закон теплопроводности входит ряд математических понятий, оп­ределения которых целесообразно напо­мнить и пояснить.

1. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ

Явление теплопроводности представляет собой процесс распростра­нения тепловой энергии при непосредственном соприкосновении отдель­ных частиц тела или отдельных тел, имеющих различные температуры. Теплопроводность обусловлена движением микрочастиц вещества.

При этом в газах перенос энергии осуществляется путем диффузии молекул и атомов, а в жидкостях и твердых телах-диэлектриках— путем упругих волн. В металлах перенос энергии в основном осуществ­ляется путем диффузии свободных электронов, а роль упругих колеба­ний кристаллической решетки здесь второстепенна.

Следует указать, что в жидкостях и газах чистая теплопроводность может быть реализована при выполнении условий, исключающих пере­нос тепла конвекцией.

Всякое физическое явление в общем случае сопровождается изме­нением в пространстве и времени существенных для данного явления физических величин. Процесс теплопроводности, как и другие виды теплообмена, может иметь место только при условии, что в различных точках тела (или системы тел) температура неодинакова. В общем слу­чае процесс передачи теплоты теплопроводностью в твердом теле со­провождается изменением температуры как в пространстве, так и во времени.

Аналитическое исследование теплопроводности сводится к изучению пространственно-временного изменения температуры, т. е. к нахождению уравнения:

t = (х, у, z, τ) [1.1]

Уравнение [1.1] представляет математическое выражение темпе­ратурного поля.

Всякое физическое явление в общем случае сопровождается изме­нением в пространстве и времени существенных для данного явления физических величин. Процесс теплопроводности, как и другие виды теплообмена, может иметь место только при условии, что в различных точках тела (или системы тел) температура неодинакова. В общем слу­чае процесс передачи теплоты теплопроводностью в твердом теле со­провождается изменением температуры, как в пространстве, так и во времени, т.е. температура изменяется с течением времени и от одной точки к другой. Таким образом, температурное поле есть совокуп­ность значений температуры во всех точках изучаемого пространства для каждого момента времени.

Различают стационарное и нестационарное темпера­турные поля.

В зависимости от времени теплообмен может быть:

- стационарным, если температурное поле не зависит от времени;

- нестационарным, если температурное поле меняется во времени.

Уравнение (1.1) является записью наиболее общего вида температурного поля. Такое поле отвечает неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности и носит название нестационарного температурного поля.

Если тепловой режим является установившимся, то температура в каждой точке поля с течением времени остается неизменной и такое температурное поле называется стационарным. В этом случае темпера­тура является функцией только координат:

[1.2]

Температурное поле, соответствующее уравнениям (1.1) и (1.2), является пространственным, так как температура является функцией трех координат. Если температура есть функция двух координат, то поле называется двухмерным и его запись имеет вид:

[1.3]

Если температура есть функция одной координаты, то поле назы­вается одномерным:

[1.4]

Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля:

[1.5]

Если соединить точки температурного поля с одинаковой температурой, то получим поверхность равных температур называемую изотермической поверхностью. При пересечении изотермической поверхности плоскостью получим на этой плоскости семейство изотерм − линий постоянной температуры.

Изотермическая поверхность — это геометрическое место точек, температура в которых одина­кова.

Так как одна и та же точка тела не может одновременно иметь различные температуры, то изотермические поверхности не пересекают­ся. Они либо оканчиваются на поверхности тела, либо целиком распо­лагаются внутри самого тела.

Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм. Они обладают теми же свойствами, что и изотермические поверхности, т. е. не пересека­ются, не обрываются внутри тела, оканчиваются на поверхности, либо целиком располагаются внутри самого тела.

На рисунке приведены изотермы, температу­ры которых отличаются на Δt.

Температура в теле изменяется только направлениях, пересекающих изотермические поверхности. При этом наибольший перепад температуры на единицу длины происходит в направлении нормали к изотермической поверх­ности.

Возрастание температуры в направлении нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры.

Градиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изо­термической поверхности в сторону возрастания температуры и числен­но равный производной от температуры по этому направлению, т. е.

[1.6]

где - есть единичный вектор, нормальный к изотермической поверхности и направленный в сторону возрастания температуры;

- производная температуры по нормали n.

Градиент температуры — grad t есть вектор, направленный по нор­мали к изотермической поверхности и численно равный производной от тем­пературы по этому направлению.

Перепад температур ΔΤ − разность температур между двумя точками одного тела, двумя изотермическими поверхностями, поверхностью и окружающей средой, двумя телами. Перепад температуры вдоль изотермы равен нулю. Наибольший перепад температуры происходит по направлению нормали к изотермической поверхности. Возрастание температуры по нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры.

Средний градиент температуры − отношение перепада температур между двумя изотермическими поверхностями ΔΤ к расстоянию между ними Δn, измеренному по нормали n к этим поверхностям (рис. 1).

Истинный градиент температуры − средний градиент температуры при Δn—>0 или это есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры, численно равный первой производной температуры по этой нормали:

[1.7]

Скалярная величина температурного градиента не одинакова для различных точек изотермической поверхности. Она больше там, где расстояние между изотермическими поверхностями Δn меньше. Скаляр­ную величину температурного градиента мы будем также назы­вать температурным градиентом.

Величина в направлении убывания температуры отрица­тельна.