Переходные процессы в одноконтурной цепи 2-го порядка

4.1. Отключение постоянного напряжения

от последовательной цепи RLС

Пусть в момент t = 0 постоянное напряжение U отключается от последовательной цепи RLС, так что при t > 0 она образует замкнутый последовательный контур.

Так как при t < 0 тока в контуре не было, а конденсатор был заряжен до напряжения U, то начальные условия переходного процесса будут такими:

i (+0) = i (−0) = 0, и_С (+0) = и_С (−0) = U. (1)

После замыкания контура конденсатор начнёт разряжаться, в контуре пойдёт ток i и начнётся свободный процесс, характер которого зависит от соотношения между параметрами R, L и С. Расставив стрелки тока и обхода, запишем второе уравнение Кирхгофа:

u_L + u_R − u_C = 0, или . (2)

Дифференцируя (2) и учитывая, что при данной расстановке стрелок , получаем уравнение 2-го порядка относительно тока i:

, (3)

где − коэффициент затухания, − собственная частота.

Запись уравнения 2-го порядка в канонической форме (3) удобна тем, что его решение выражается простыми и наглядными функциями параметров β и ω₀.

Подстановкой

(4)

оно сводится к более простому уравнению (проверить самостоятельно):

, (5)

решение которого хорошо известно и зависит от соотношения между β и ω₀. Здесь возможны три варианта:

Вариант 1: >0 (колебательный вариант).

Обозначив = ω², получим:

.

Как известно, общим решением этого уравнения является функция

.

И тогда, с учётом (4), получаем:

. (6)

Коэффициенты А и В здесь зависят от начальных условий. Для дифференциального уравнения 2-го порядка должны быть заданы два начальных условия: ток i и его первая производная в момент t = 0. Здесь следует помнить, что начальные условия для всякого переходного процесса задаются именно при t =+0, а не при t = −0, т. е. в первый момент после коммутации в цеп и. А условия при t = +0 определяются уже правилами коммутации:

1) ток через индуктивность скачком измениться не может;

2) напряжение на конденсаторе скачком измениться не может.

Подстановка 1-го начального условия i (+0) = i (−0) = 0 в (6) даёт: В =0, т. е.

. (7)

Второе начальное условие следует из уравнения (2): так как i (0) = 0, а и_С (0) = U, то . Но, в силу (7), . Следовательно, . И тогда для тока в контуре получаем:

. (8)

Кривая (8) описывает свободные затухающие колебания в последовательной цепи RLC. Она, в строгом смысле, не периодична, но периодически и бесконечное число раз проходит через ноль с периодом , где .

Напряжения на элементах контур также будут носить характер затухающих колебаний. В частности, напряжение на конденсаторе теперь легко можно найти из уравнения (2): и_С (t) = , напряжение на резисторе u_R (t) = iR.

Вариант 2: (критический вариант).

Уравнение (5) в этом случае принимает вид:

,

и его решение . Следовательно, для тока i, с учётом (4), получаем:

.

Из тех же начальных условий i (0) = 0, получаем: В =0, . И тогда

. (9)

Полученная функция является апериодической. Сопротивление R, при котором колебательный процесс вырождается в апериодический, называется критическим сопротивлением R _кр. Величина этого сопротивления определяется из условия : R _кр= .

Закон изменения напряжения на конденсаторе теперь проще всего определить из соотношения и_С (t) = с учётом найденного тока (9):

.

Вариант 3: β² > (закритический вариант).

Обозначив , получим:

.

Общее решение этого уравнения имеет вид:

.

Следовательно, ток

, (10)

где . При тех же начальных условиях, что и предыдущих вариантах, ток в этом случае будет таким:

, (11)

где .

Зависимость (11) качественно совпадает с вариантом 2, т. е. процесс здесь также будет апериодическим и экспоненциально затухающим, так как показатели в обеих экспонентах (10) отрицательны. Графики i (t) и u_C (t) здесь такие же, как и в предыдущем варианте, только с ещё большим затуханием.

Ситуация β² > реализуется при R>R _кр= .

4.2. Включение постоянного напряжения

в последовательную цепь RLС

Пусть в момент t = 0 в последовательную цепь RLC включается постоянное напряжение U. Второе уравнение Кирхгофа при t > 0 будет таким:

. (1)

Далее можно пойти двумя путями. Либо, продифференцировав (1), заниматься уравнением для тока:

,

где − коэффициент затухания, − собственная частота. Оно точно такое же, как и в предыдущем разделе, только другими будут начальные условия. Либо, подставив в (1) выражение , получить уравнение для напряжения на конденсаторе и_С, решить его, а затем уже найти и ток i. Выберем, для определённости, второй путь. Для простоты, опустим у напряжения и_С индекс, т. е. положим и_С ≡ и, . Тогда уравнение (1) примет вид:

. (2)

Как и в предыдущем разделе, решение этого уравнения может быть как колебательным, так и апериодическим, в зависимости от соотношения между параметрами β и ω₀. Рассмотрим вкратце два варианта, с учётом наработок, полученных в предыдущем разделе.

Вариант 1: > 0 (колебательный вариант).

Тогда общим решением уравнения (2) будет функция

. (3)

(здесь последнее слагаемое U – это частное решение неоднородного уравнения (2)).

Коэффициенты А и В находим из начальных условий. Первое начальное условие очевидно: и (0) = 0, откуда получаем: В = − U. Второе начальное условие для можно получить из соотношения : так как i (0) = 0, то и =0.

Это даёт: А = −(β/ω) U. И тогда

. (4)

При слабозатухающем процессе, когда β≪ω₀, это выражение упрощается:

. (5)

Теперь из (4) после некоторых преобразований находим ток:

= . (6)

Видно, что здесь ток ведёт себя точно так же, как и в варианте 1 предыдущего раздела, а вот напряжение на конденсаторе – немного по-другому: его затухающие колебания происходят около уровня U. В первые моменты на конденсаторе возникает перенапряжение, почти в 2 раза превышающее приложенное напряжение U.

Вариант 2: (критический вариант).

Общим решением уравнения (2) в этом случае будет функция

. (6)

Подставив те же начальные условия и (0)=0 и в (6), получим: В = , . И тогда

. (7)

Ток i получаем из (7) после некоторых преобразований и учитывая, что в данном варианте = 1/(LC):

= ,

т. е. ток и здесь точно такой же, как и в варианте 2 предыдущего раздела 5.1.

4.3. Воздействие длинными импульсами

на последовательную цепь RLС («звон контура»)

Из разделов 4.1 и 4.2 следует, что если на последовательный контур RLС подавать прямоугольные импульсы достаточно большой длительности:

τ_и ≫ Т = 2π/ω₀,

то, в зависимости от соотношения между β и ω₀, на конденсаторе С будут выделяться следующие картины напряжения:

Причём «звон» в контуре при скачках напряжения на нём будет тем дольше, чем больше добротность контура

.

4.4. Действие очень короткого импульса

на последовательную цепь RLC

Пусть в момент t =0 на последовательный контур RLС подействовали очень коротким прямоугольным импульсом напряжением U, длительностью τ ≪ Т, где Т =1/ , т. е.

После действия импульса контур остаётся замкнутым, т. е. внутреннее сопротивление генератора импульсов равно нулю.

Исследуем процесс в контуре после действия такого импульса: i (t) и u _C(t) при t > τ. Рассмотрим два варианта: R < R _кр и R = R _кр.

Решение. Действие на контур очень короткого импульса аналогично удару по шарику математического маятника: сразу после удара потенциальной энергии у шарика ещё нет, но импульс он уже получил.

Здесь аналогично: за время τ ток в катушке стал таким: , а напряжение на конденсаторе при малом τ − ещё практически нулевое.

Таким образом, при t > τ в контуре начнётся свободный процесс при начальных условиях: i (τ) = , u_C (τ) = 0, т. е. .

При R < R _кр ток описывается функцией

, где ,

а при R = R _кр ток ,

а напряжение .

Замечание. Произведение U τ – это площадь импульса. При τ→0, но U τ = const, мы имеем δ-функцию.

4.5. Включение синусоидального напряжения

в последовательную цепь RLС

Пусть в момент t = 0 к последовательной цепи RLC подключается синусоидальное напряжение

,

где ω – частота приложенного напряжения. В контуре начнётся переходный процесс, характер которого зависит от соотношения между параметрами ω, ω₀ и β.

Рассмотрим наиболее простой вариант, когда:

1) β ≪ ω₀ (процесс является слабозатухающим; при этом ω_своб = );

2) внешняя частота ω не равна ω₀, но близка к ней, т. е. ω ≈ ω₀;

Уравнение Кирхгофа при t > 0 будет таким:

. (1)

Продифференцировав его, и учтя, что получим:

, (2)

где − коэффициент затухания, − собственная частота.

Общим решением уравнения (2) при ω_своб будет функция

. (3)

Здесь последнее слагаемое – это частное, а именно − установившееся решение неоднородного уравнения (2). Амплитуда установившегося тока и фазовый сдвиг между током i и напряжением и _вх определяются методом векторных диаграмм:

, а фазовый сдвиг .

Начальные условия: 1) i (0)=0. 2) Так как и_С (0)=0, то из (1) получаем: .

С учётом (3), это даёт: , а при β≪ω₀ и ω ≈ ω₀ коэффициент .

И тогда ток в контуре

.

Фазовый сдвиг φ можно положить равным нулю, так как это не влияет на визуальную картинку i (t), и тогда окончательно:

. (4)

В частности, при ω = ω₀ (точно), ток

. (5)

Функции (4) и (5) показаны на рисунках:

Литература

Л. А. Бессонов. Теоретические основы электротехники. М., 1973.