Классический метод расчёта переходных процессов в цепях RLC

Расчёт переходных процессов в цепях RLC значительно сложнее, чем расчёт установившихся синусоидальных процессов.

Установившиеся синусоидальные процессы не зависят от начальных условий. Описывающие их дифференциальные уравнения всегда можно свести к линейным алгебраическим уравнениям для комплексов тока и напряжения (метод комплексных амплитуд), решение которых уже не представляет трудностей.

Переходные процессы зависят уже не только от внешнего воздействия, но и от начальных условий на элементах RLC, которые зачастую определить нелегко.

Существует несколько методов расчёта переходных процессов.

Далее расчёты переходных процессов в линейных цепях RLC будем проводить только классическим методом, который обладает физической наглядностью и для несложных цепей гораздо проще других методов.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Расчёт переходного процесса в заданной цепи RLC при заданном внешнем воздействии проводится следующими этапами.

Этап 1. Составляется система уравнений Кирхгофа для токов и напряжений. При этом одни уравнения системы будут алгебраическими: это уравнения 1-го правила Кирхгофа, а другие – дифференциальными (уравнения 2-го правила Кирхгофа).

Этап 2. Путём исключения всех переменных, кроме одной, система сводится к одному дифференциальному уравнению с правой частью относительно выбранной переменной (тока или напряжения). Как правило, для несложных цепей порядок этого результирующего дифференциального уравнения получается не выше второго.

В зависимости от порядка дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс, различают цепи 1-го, 2-го и более высоких порядков. Все одноконтурные цепи имеют порядок 1 (если цепь содержит реактивности одного сорта: или L, или С) или 2 (если цепь содержит и ёмкости, и индуктивности). Двух- и многоконтурные цепи могут быть 2-го и выше порядков даже при одном сорте реактивностей.

Этап 3. Составляется общее решение полученного неоднородного уравнения в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, например, для тока:

i (t) = i _однор.(t) + i _частн.(t). (2)

Здесь первое слагаемое i _однор.(t) описывает так называемый свободный процесс в цепи, когда в схеме что-то зарядили, а затем её «отпустили» и смотрят на её поведение без дальнейшего внешнего воздействия. Свободный процесс в реальных цепях со временем всегда затухает, т.е.

.

Свободный процесс i _однор.( t ) зависит только от начальных условий, но не зависит от внешнего воздействия u ( t ).

Второе слагаемое i _частн.(t) описывает установившийся вынужденный процесс, когда свободный процесс практически уже прекратился. Так что в результате при t →∞

i (t) _t→∞ → i _частн.(t).

В отличие от свободного, установившийся (вынужденный) процесс i _частн.( t ) определяется только внешним воздействием u ( t ), и не зависит от начальных условий.

Сумма (2) общего и частного решений и определяет характер переходного процесса в цепи.

Замечание. Если внешнее воздействие u (t) не является периодическим, то само понятие установившегося процесса (а значит и переходного) может потерять смысл. Поэтому далее везде будем предполагать, что внешнее воздействие либо постоянное, либо периодическое (синусоидальное или импульсное).

Общее решение однородного уравнения 1-го или 2-го порядка найти несложно: это какая-нибудь экспонента, синус, или их комбинация. Во всяком случае, оно имеет стандартный вид, его надо знать, оно просто выписывается.

Частное решение найти, порой, сложнее. Его вид определяется видом правой части неоднородного уравнения: если правая часть есть const, то и частное решение ищется в виде константы. Если правая часть есть экспонента, то и частное решение ищем в виде экспоненты. Если правая часть – какой-то синус или косинус, то и частное решение ищем в виде синуса, а точнее – в виде установившегося синусоидального процесса, который приходится искать отдельно, методом векторных диаграмм или комплексных амплитуд.

Этап 4. После того, как запишем общее решение неоднородного уравнения, находим из начальных условий постоянные интегрирования – одну или две, входящие в его первую часть – в общее решение однородного уравнения. Здесь надо быть внимательным и строго учитывать два правила коммутации:

Правило 1. Ток через индуктивность L скачком измениться не может: , где − ток через индуктивность до коммутации, ток сразу после коммутации.

Правило 2. Напряжение на конденсаторе С скачком измениться не может: , где напряжение на конденсаторе до коммутации, напряжение сразу после коммутации.

Эти правила вытекают из уравнений Кирхгофа, куда обязательно входят производные или , поэтому токи на индуктивностях i (t) и напряжения на конденсаторах u (t) скачков не допускают. Если дифференциальное уравнение получается второго порядка, то в начальные условия входят и первые производные: или .

Замечание. Для определения начальных условий i (+0) или и (+0) при включении в цепь постоянного напряжения U удобно использовать следующий приём: при t = 0 все конденсаторы замкнуть накоротко, а вместо индуктивностей сделать разрывы. И тогда задача определения i (+0) или и (+0) на каком-либо элементе сводится к расчёту полученной цепи в режиме постоянного тока.

Для определения второго начального условия в уравнениях второго порядка достаточно использовать соотношения: для конденсаторов , для индуктивностей .

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Далее подробно рассмотрим переходные процессы сначала в простейших одноконтурных цепях RC, RL и RLC, к которым «подключается-отключается» внешнее постоянное напряжение U, а затем перейдём к более сложным − двухконтурным цепям, к которым прикладывается как постоянное, так и переменное (синусоидальное) напряжение u (t).

3. Переходные процессы в простейших цепях 1-го порядка

3.1. Разряд конденсатора через активное сопротивление

Разряд предварительно заряженного конденсатора через активное сопротивление (через резистор) является простейшим переходным процессом.

Пусть конденсатор ёмкостью С заряжен до напряжения U. В момент t =0 замыкается ключ К и конденсатор начинает разряжаться через активное сопротивление R. Так как здесь внешнего воздействия нет, то в цепи будет только свободный процесс.

Выбрав направление обхода, запишем для этой цепи второе уравнение Кирхгофа:

u_R − u_C =0,

или

iR − u_C =0. (1)

А так как для конденсатора ток i здесь является разрядным, то , и тогда , (2)

или ,

где − постоянная времени RC -цепочки.

Общее решение этого однородного уравнения имеет вид (проинтегрировать самостоятельно; однако, решение уравнения такого типа надо знать):

,

где А – коэффициент, определяемый начальным условием, т.е. − напряжением на конденсаторе в первый момент после замыкания ключа К. Так как, по условию, до замыкания напряжение , а напряжение на конденсаторе скачком измениться не может (это привело бы к тому, что , тогда как в уравнении (2) и_С – конечно), то

(это второе правило коммутации).

Это даёт: А = U, и, следовательно,

. (3)

Отсюда видно, что τ – это время, за которое напряжение на конденсаторе убывает в е раз:

2,7.

Реально время переходного процесса оценивается примерно в 3τ, когда напряжение уменьшается в е ³ = 20 раз, или когда до установившегося значения осталось лишь 1/20 = 5 % от исходного напряжения U.

Пример. Пусть С =1 мкФ, R =1 кОм. Тогда время переходного процесса Δ t _перх.=3τ=3 RC =3 мс.

Теперь легко получить закон убывания тока в цепи:

.

Видно, что он точно такой же, как и закон убывания напряжения.

3.2. Включение постоянного напряжения

в последовательную цепь RC

Рассмотрим теперь процесс заряда конденсатора через активное сопротивление R от генератора с постоянным напряжением U.

Пусть в момент t =0 замыкается ключ К. Тогда второе уравнение Кирхгофа для выбранного направления обхода контура будет таким:

,

или, так как i = C (du_C /dt),

, (4)

где − постоянная времени RC -цепочки.

Общее решение этого неоднородного уравнения равно сумме его частного решения и общего решения соответствующего однородного. Частное решение легко угадывается: и_{С частн.}= U (оно проверяется простой подстановкой). Тогда

.

Коэффициент А определяется из начального условия: и_С (+0)= и_С (−0)=0. Это даёт: А =− U; и тогда

.

Ток заряда

.

3.3. Включение постоянного напряжения

в последовательную цепь RL

Процессы при коммутациях в цепи RL описываются такими же дифференциальными уравнениями, как и (2) или (4), поэтому подробнее остановимся лишь на некоторых специфических особенностях.

Второе уравнение Кирхгофа:

, или: .

Или: , (5)

где − постоянная времени цепи RL.

Общее решение неоднородного уравнения (5): i = i _однор.+ i _частн.= .

Начальное условие: i (+0) = i (−0)=0 (ток через индуктивность скачком измениться не может, так как это противоречило бы уравнению (5)). Отсюда А =− U / R, и тогда

. (6)

Замечание 1. При R =0 (подключение напряжения U к идеальной индуктивности) уравнение (5) принимает вид: , откуда , т.е. ток в катушке линейно и бесконечно растёт (наклонный пунктир на рисунке). Это следует и из (6) при разложении экспоненты в ряд Тейлора по малому параметру (t /τ): .

Замечание 2. Если скачки тока через индуктивности и скачки напряжения на ёмкости запрещены, то скачки напряжения на катушке и тока на конденсаторе не противоречат уравнениям Кирхгофа.

3.4. Отключение постоянного напряжения

от последовательной цепи RL

Пусть в момент t = 0 постоянное напряжение U отключается от последовательной RL -цепочки путём простого разрыва. При t < 0 в катушке был ток i = U / R. При разрыве цепи он скачком должен упасть до нуля, однако это противоречит второму уравнению Кирхгофа. В этой ситуации происходит следующее.

При размыкании ключа К сопротивление его контактов r _к резко возрастает, что приводит к очень быстрому уменьшению тока в цепи – быстрому, но не скачкообразному. При этом резко возрастает и ЭДС самоиндукции катушки: Е _с.и= , причём это возрастание настолько велико, что при разрыве контактов ключа К между ними происходит электрический пробой – искра. И этот пробой будет при любой скорости размыкания ключа, так как чем быстрее размыкание, тем больше di / dt, а, следовательно, и тем больше ЭДС самоиндукции.

Замечание 1. Этот пробой может произойти не только в ключе К, но и в межвитковой изоляции самóй катушки, что приведёт катушку в негодность.

Замечание 2. Итак, при разрыве цепи с индуктивностью Е _с.и катушки во много раз превышает разорванное внешнее напряжение U, и в связи с этим, эта ЭДС очень опасна для человека.

Напряжения на элементах цепи, превышающие напряжение, приложенное от генератора, называются перенапряжениями.

В связи с возникновением опасных перенапряжений, катушки с большими индуктивностями (L ≥1 Гн) нельзя отключать от генератора по приведённой выше схеме, т.е. путём простого разрыва цепи. Обычно ток в таких цепях сначала плавно уменьшают до нуля каким-либо регулятором, а потом уже разрывают цепь (например, на ГЭС).

Но можно сделать и быстрое отключение генератора от RL -цепи, если параллельно ей поставить активное сопротивление R ₀. Рассмотрим переходный процесс в цепи RLR ₀ после отключения от неё постоянного напряжения U.

При t > 0 второе уравнение Кирхгофа для указанного контура будет таким:

, или , (7)

или , где

Его решение: i = .

Из начального условия следует, что , и тогда

.

Напряжение на резисторе R ₀ (т. е. на выводах катушки RL) в этом случае

и _кат= .

Если R ₀≫ R, то в первый момент после размыкания ключа К это напряжение может быть очень велико: .

Пример. Пусть R = 10 Ом – это активное сопротивление обмотки катушки,

R ₀ = 50 кОм – сопротивление взявшегося за катушку человека,

U =1 В – напряжение отключаемой от катушки батарейки.

Тогда при t = +0 напряжение и _чел= кВ.

Запасённый катушкой ток =100 мА будет «прокачан» через человека во что бы то ни стало. Однако, эффективный импульс тока будет очень короток: например, при L =1 Гн длительность импульса 20 мкс.

Замечание. Если при t < 0 был ток i ₀, а сопротивления , то при отключении катушки от генератора она будет сохранять этот ток бесконечно долго. Действительно, так как при уравнение (7) принимает вид L (di/dt) = 0, то i = const = i ₀. Вместе с током катушка сохраняет и энергию .