Задание плоского движения твердого тела

Плоским или плоскопараллель­ным движением твердого тела называ­ется такое его движение, при котором ка­ждая точка тела движется в плоско­сти, параллельной некоторой неподвижной плоскости, например движение колеса ва­гона на прямолинейном участке пути, дви­жение шатуна кривошипно-шатунного ме­ханизма.

Рассмотрим движение плоской фи­гуры, представляющей собой сечение тела, находящегося в плоском движении, плоскость , параллельной неподвижной плоскости (рис. 2.15). При плоском движении все точки тела, лежащие на прямой , перпендику­лярной к сечению , т. е. к плоскости , движутся

тождественно. Поэтому вме­сто плоского движения тела достаточно изучить движение плоской фигуры в ее плоскости.

В кинематике твердого тела изучаются три основных вопроса: задание движе­ния тела, вычисление скорости ка­кой-либо его точки и вычисление ее уско­ре­ния. Кроме этих вопросов изучаются и другие вопросы, представляющие на­учный и технический интерес.

Положение движущейся плоской фигуры в ее плоскости относительно не­подвижной системы осей координат определя­ется положением какого-либо отрезка, жестко связанного с этой фигурой (рис. 2.16).

Положение отрезка можно определить, зная радиус-вектор точки и угол , который образует отрезок с осью . Точку называют полюсом. При движении тела величины и будут изменяться в зависимости от времени, т. е.

; (2.44)

. (2.45)

Уравнения (2.44) и (2.45) называются уравнениями плоского движения твердого тела.

Теорема. Всякое перемещение плоской фигуры в ее плоскости можно пред­ставить как совокупность двух перемещений: 1) поступательного переме­щения, зависящего от выбора полюса; 2) вращательного перемещения вокруг полюса; угол и направление поворота от выбора полюса не зависят.

Доказа­тельство. Пусть в момент времени фигура занимала положение (рис. 2.17), а в момент времени - положе­ние . Переместим сначала

фигуру посту­пательно в положение а затем по­вернем ее на угол вокруг точки . Заметим, что поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а угол поворота не зависит от него. Действительно, тот же переход из положения в положе­ние можно осуществить, приняв за полюс точку и переместив сначала фигуру в положение (причем все точки фигуры получат перемещения, гео­метрически равные и отличные от , а затем повернув фигуру на во­круг точки .

Но углы

, (2.46)

так как отрезки и параллельны и повороты вокруг точек и происходят в одну сторону.

Продифференцировав равенство (2.46), получим

; , (2.47)

т. е. угловая скорость и угловое ускорение не зависят от выбора полюса пло­ской фигуры при плоском ее движении.