Ефект Холла

Явище, відкрите американським фізиком Едвином Холлом у 1879 р, полягає у виникненні у провіднику із струмом електрорушійної сили, поперечної як до напрямку струму, так і до

прикладеного магнітного поля – ЕРС Холла.

Рис. 4.11.2. Ілюстрація до явища Холла.

На рис. 4.11.2 зображено випадок, коли струм утворюється позитивними зарядами. Під дією магнітного поля траєкторія зарядів викривлюється і на верхній грані виникає надлишок заряду, знак якого однаковий зі знаком носіїв струму – тут позитивний. На нижній грані виникає заряд

протилежного знаку. Внаслідок просторового розділення зарядів виникає поперечне макроскопічне

електричне поле. Електрична сила, зумовлена цим полем, діє на заряд

Fe = eE X

у напрямку,

протилежному до напрямку дії магнітної сили. Накопичення зарядів триває доти, поки електрична сила не зрівняється з магнітною, тобто

E X = v B. (СІ) (4.11.5)

Підставивши швидкість із (4.11.5) у вираз для густини струму

j = en v, отримуємо

j = enE X

B. Для

експериментальних досліджень зручно замінити густину струму на силу струму

I = jah, де a –

ширина, а h – висота зразка. Напруженість поля Холла виразимо через різницю потенціалів, тобто

ε X = EX × h. В результаті отримаємо

ε = IB. (4.11.6)

X nea

Величина, обернена об’ємній густині заряду ρ = ne, переміщення якого створює струм, тобто

R = 1

ne

= a ε X

IB

, (СІ) (4.11.7)

називається сталою Холла. Квантово-механічний аналіз цього явища дає для сталої Холла аналогічний вираз.

Якщо струм утворюють негативні заряди, то для попереднього напрямку струму та магнітного поля, напрямок дії магнітної сили на заряди теж не змінюється, оскільки одночасно змінюються на протилежні напрямок швидкості та знак заряду. Однак, тепер верхня грань заряджається негативно, а нижня – позитивно, тобто знак ЕРС Холла змінюється на протилежний. Таким чином, досліджуючи явище Холла, можна визначати знак носіїв струму за знаком індукованої ЕРС. Ця обставина є важливою для напівпровідників, у яких в залежності від типу введеної домішки носії струму можуть

мати як негативний заряд – електрони, так і позитивний – дірки. Крім того, із (4.11.7) видно, що при

відомих значеннях

ε X, I, B

та ширини зразка а можна визначити концентрацію носіїв струму.

Явище Холла є основним методом у цих дослідженнях.

Явище Холла використовується також для вимірювання індукції магнітного поля (датчики Холла). Тут необхідно попередньо знати концентрацію носіїв струму, силу струму і ЕРС Холла. Магнітне поле визначається згідно з (4.11.7) як

ε

B = ane X.

I

Основною проблемою в дослідженні явища Холла є нееквіпотенціальність контактів, на яких

вимірюється ε X

(контакти 1, 2 на рис. 4.11.2). Для правильного визначення ЕРС Холла контакти у

відсутності магнітного поля повинні мати однаковий потенціал. В металах ε X

має порядок величини

~ 10−4B.

Для її вимірювання з точністю, наприклад, до третього знаку різниця потенціалів між

контактами з виключеним магнітним полем не повинна перевищувати значення 10−6 В. Домогтися

такої точності в розміщенні контактів, аби їхня нееквіпотенціальність була меншою ніж

10−6 В

практично неможливо, тому для визначення ЕРС Холла використовується метод компенсації

початкової напруги. Для цього в коло вмикається джерело високостабільної напруги U 0

полярністю,

протилежною до ЕРС Холла. Близький до цього метод використовує результати двох вимірювань,

виконаних для протилежних напрямків магнітного поля. Якщо напруга, виміряна для одного

напрямку поля, дорівнює U 1 = U 0 + ε X, то для протилежного U 2 = U 0 − ε X

й ЕРС Холла

ε = U 1 − U 2. (4.11.8)

X 2

Циклічні прискорювачі заряджених частинок

"Закрученість" траєкторії рухомих зарядів у магнітному полі використовується в циклічних прискорювачах заряджених частинок. В найпростішому прискорювачі – циклотроні використана властивість незалежності частоти обертання зарядженої частинки в однорідному магнітному полі від

її швидкості (див. (4.11.2)). Циклотрон складається із двох порожнистих напівциліндрів – дуантів,

вміщених у камеру, де створено високе розрідження, рис. 4.11.3. Дуанти знаходяться в однорідному магнітному полі, величина якого сягає десятків тисяч ерстед. В потужних циклотронах радіус камери

сягає декількох метрів. До дуантів прикладається періодична напруга амплітудою

10 4 K10 5 B.

Заряджені частинки впускаються в камеру поблизу центра із спеціального пристрою. Всередині дуанта електричне поле відсутнє (металева порожнина), тому частинка, маючи порівняно невелику початкову швидкість, рухається у магнітному полі по колу малого радіуса (4.11.2). Фаза напруги між дуантами встановлюється з таким розрахунком, аби при наближенні зарядженої частинки (точніше згустку частинок) до проміжку напруга мала амплітудне значення та необхідний знак. Прискорившись в електричному полі, цей згусток влітає у другий дуант. Маючи тепер більшу швидкість, частинки рухаються по колу більшого радіуса, тобто траєкторія їх нагадує спіраль, що розгортається. На периферії камери прискорені частинки виводяться з неї за допомогою спеціального відхиляючого пристрою і направляються на мішень, де взаємодіють з атомними ядрами, чи використовуються для інших потреб.

За формулою (4.11.3) частота обертання частинки в однорідному магнітному полі стала, тому

сталою та рівною їй повинна бути і частота прискорювального електричного поля. В циклотронах

можна прискорити частинки до енергій

~ 107 eB.

Стосовно сучасних експериментальних вимог це

надто мала енергія. Неможливість прискорення на циклотронах частинок до більшої енергії зумовлена тим, що з наближенням швидкості частинки до швидкості світла починають проявлятися релятивістські ефекти. Основним тут є залежність інерційності частинки від її швидкості (4.11.4), що призводить до зменшення частоти обертання частинки й відтак до порушення фази електричного поля. Тобто згусток обважнілих частинок наближатиметься до проміжку між дуантами, коли напруга, якщо й має необхідну полярність, проте вже не досягає амплітудного значення, або ж вона взагалі

має протилежну полярність і тим гальмує частинки.

Рис. 4.11.3. Схема циклотрона.

Уникнути порушення синхронізму й тим самим збільшити енергію заряджених частинок можна, якщо змінювати частоту прискорювального електричного поля відповідно до зростання швидкості частинок і/або індукцію магнітного поля. Прилад, в якому частота прискорювального електричного поля зменшується відповідним чином із зростанням інерційності частинок, називається фазотроном або синхроциклотроном. Прискорювач, в якому частота зміни електричного поля

залишається сталою внаслідок такого закономірного збільшення магнітного поля, аби, згідно з

(4.11.3), відношення m B

(m – релятивістська маса) залишалося незмінним, називається

синхротроном. Цей тип прискорювачів застосовується для прискорення електронів.

Нарешті, в синхрофазотроні одночасно змінюється як частота електричного поля, так і величина індукції магнітного поля. Магнітне поле збільшується в такий спосіб, аби частинки рухалися не по спіралі, а по колу. Внаслідок цього камера синхрофазотрона має вигляд тора – труби, замкненої в кільце. Зовні уздовж кільця встановлено електромагніти, які створюють поле необхідної величини та конфігурації. З формули (4.11.2) видно, що зі збільшенням швидкості та маси частинок індукція поля повинна зростати за таким законом, аби забезпечити сталий радіус орбіти частинок. Період обертання змінюється внаслідок збільшення інерційності частинок та збільшення В. Щоби підтримувати частоту електричного поля рівною циклотронній частоті, електричну частоту змінюють за відповідною закономірністю. Найбільш потужний синхрофазотрон для прискорення протонів

знаходиться у Батавії (США). На ньому можна прискорювати протони до енергії 500 ГеВ (5×1011 еВ).

Відхиляюча здатність магнітного поля застосовується також для управління електронним

пучком у кінескопах телевізорів, комп’ютерних дисплеях, в масспектрометрах – приладах для визначення маси іонів, в магнітних лінзах для фокусування електронних пучків тощо.

4.12. Перетворення магнітних та електричних полів

Магнітні сили зникають K

Досі електричні та магнітні стаціонарні поля розглядались як незалежні об’єкти. Магнітні явища можна виключити, розглядаючи електричну взаємодію нерухомих електричних зарядів. З іншого боку, існування електричних зарядів протилежних знаків дає можливість вивчати лише магнітне поле, створене електричним струмом у незарядженому провіднику. Однак, змінні в часі електричні та магнітні поля виявляються взаємно пов’язаними й повинні розглядатися як єдиний об’єкт – електромагнітне поле (див. главу 13). Електромагнітне поле в класичному розумінні трактується як хвильовий процес, де в кожний момент часу і в кожній точці відбуваються перетворення електричного поля в магнітне і навпаки.

Виявляється, що існує взаємозв’язок і між стаціонарним магнітним та електричним полем, і зумовлений він залежністю магнітних та електричних сил від швидкості руху заряду. Коли говорять про швидкість руху, то завжди виникає питання, відносно якої системи координат вона відраховується, адже в різних системах швидкість руху заряду неоднакова. Зокрема, у системі, де заряд нерухомий, він не створює магнітного поля і на нього не впливають магнітні сили.

Розглянемо детальніше цю проблему на доволі штучній зате зручній для аналізу моделі,

зображеній на рис. 4.12.1. а. Тут знаходиться провідник із струмом, на відстані

y від нього рухається

точковий заряд

q > 0 із початковою швидкістю v вздовж осі ОХ лабораторної системи К. В цій

системі провідник нерухомий. Нехай струм утворюється ланцюжком позитивних зарядів, кожний

величиною е, і з однаковою відстанню між ними d. Для спрощення аналізу припустимо, що ці заряди

рухаються з тією ж швидкістю та напрямком, що і заряд q. Нерухомі негативні заряди розміщуються

з тим самим інтервалом. Струм І провідника створює магнітне поле

B = 2 I

cy. Врахувавши

відношення еквівалентності для елемента струму Id ↔ e v, отримуємо для магнітного поля струму

B = 2 e v. (СГС)

ydc

В лабораторній системі К на заряд q діє лише магнітна сила, спрямована до провідника, й рівна

Рис. 4.12.1. Електромагнітна взаємодія у різних інерціальних системах: а) магнітна взаємодія в

лабораторній системі; б) електрична взаємодія в системі K’, зв’язаній з точковим зарядом q.

Fm =

q v B =

c

2 eq v 2

ydc 2

. (СГС) (4.12.1)

Тепер подумки перемістимося в систему відліку

K', відносно якої у даний момент часу заряд q

ще не рухається, рис. 12.1. б. Струм у провіднику має попередній напрямок, однак тепер він

утворюється рухом негативних зарядів у протилежному напрямку із швидкістю

− v, тоді як

позитивні заряди нерухомі. Магнітне поле струму не впливає на заряд q, оскільки він у K' не

рухається і тому не створює власного магнітного поля. Таким чином, із точки зору спостерігача,

нерухомого відносно системи K ', магнітна взаємодія струму та заряду q відсутня.

Деякі релятивістські ефекти

Фізичні закони інваріантні відносно інерціальних систем. Для механічних процесів це твердження є очевидним, оскільки у другий закон Ньютона входить прискорення, а не швидкість тіла. З принципу відносності відомо, що сила не може зникнути при переході від однієї інерціальної

системи до іншої. Водночас у K'

ця сила не може бути магнітною. Тому залишається припустити, що

вона має електричну природу. Тобто провідник із точки зору спостерігача, нерухомого в

K', мусить

нести електричний заряд, причому негативний, оскільки заряд q > 0 повинен до нього притягуватись.

За домовленістю в лабораторній системі К провідник не має надлишкового електричного заряду.

Враховуючи ці факти, а також інваріантність електричного заряду, ми змушені припустити, що в

безмежно довгому провіднику зі струмом у системі K '

відстань між негативними (тобто рухомими)

зарядами має бути меншою ніж між позитивними (нерухомими у

K') зарядами. Таке припущення

забезпечить загальний негативний заряд провідника. Цю ситуацію відтворено на рис. 4.12.1. б.

З перетворень Галілея, на яких ґрунтується механіка Ньютона, такий висновок не випливає. Цю проблему було вирішено в рамках спеціальної теорії відносності (СТВ), розробленої Ейнштейном.

Теорія базується на експериментально обґрунтованому висновку про інваріантність швидкості

світла в різних системах відліку. Цю умову задовольняє перетворення Лоренца. Для систем K,

означених вище, перетворення Лоренца має такий вигляд:

K ',

x' =

x − v t;

y' = y;

z' = z;

t' =

t − v x c 2

, (4.12.2)

де використано позначення

1 − β2 1 − β2

β = v c. Формули (4.12.2) відповідають випадку, коли система K'

рухається з постійною швидкістю v у додатному напрямку осі ОХ.

Використаємо два наслідки, які випливають із перетворення Лоренца. Один із них стосується зміни розміру тіла при переході від однієї інерціальної системи до іншої. Якщо деякий предмет рухається вздовж осі ОХ із швидкістю v, то його розмір уздовж цього напрямку отримаємо,

помірявши одночасно координати початку й кінця предмета, тобто

d = x 2 − x 1. В системі

K ',

нерухомій відносно предмета, маємо отримуємо

d ' = x'

− x'. Використавши першу формулу в (4.12.2),

d = d '

1 − β2.

(4.12.3)

Тобто при переміщенні тіла відносно спостерігача його видимий розмір d у напрямку руху

зменшується, порівняно з розміром d'

нерухомого тіла. Це так зване скорочення Лоренца має

кінематичну, а не динамічну природу, тобто воно не пов’язане з деформацією тіла під дією сил.

Наступний висновок, необхідний для подальшого аналізу, стосується перетворення сили в

інерціальних системах. В системі К сила визначиться формулою

F = d p

dt, де

p = m v

1 − β2 –

релятивістський імпульс. Для даної задачі актуальною є компонента сили вздовж осі ОY, тобто

Fy = dp y

dt, де

p y – відповідна компонента імпульсу

py = m v y

1 - β2

. Виходячи з інваріантності

фізичних законів для інерціальних систем, вираз для цієї компоненти сили в системі K'

запишеться

F

y

'

як y

= dp'

dt'. Взаємне переміщення систем K та K '

p

y

відбувається вздовж осі ОХ, тому

' = p y. З

(4.12.2) маємо dt ' = dt

1 − β2, тобто зв’язок між силами в цих системах має вигляд

y

y

F = F'

1− β2. (4.12.4)

В системі К поперечна компонента сили, що діє на рухоме тіло, виявилась меншою в

1 − β2

раз ніж

у системі

K', пов'язаній з тілом. Отже. сила виявляється неінваріантною величиною.

Тепер можна обчислити постульовану нами електричну силу, що діє на заряд у системі

K',

врахувавши зміну масштабу при переході між цими системами. В K'

позитивні заряди нерухомі, тоді

як негативні заряди рухаються із швидкістю –v. Тому згідно з формулою (4.12.3) віддаль між сусідніми позитивними зарядами збільшиться

+

d ' =

d,

1 − β2

тоді як між негативними зарядами вона зменшиться порівняно з лабораторною системою

d

−

' = d

1 − β2.

Таким чином, провідник виявляється зарядженим від’ємною електрикою з лінійною густиною

τ = τ + τ

= e − e

= − e v 1.

d

d

+ − ' '

+ −

dc 2

1 − β2

Однорідно заряджений лінійний провідник утворює електричне поле

E = 2 k τ

r, тобто

E = −

2 e v 2

c 2 yd

1 − β2

. (СГС) (4.12.5)

Сила електричної взаємодії рівномірно зарядженого довгого провідника з точковим зарядом

дорівнює

Fел

= 2 eq v 1.

2 2

(СГС) (4.12.6)

c yd

1 − β

Порівнюючи вираз для магнітної сили (4.12.1) та для електричної (4.12.6), бачимо, що вони

відрізняються на множник

1 − β2

Fел =

Fм

1 − β2

. (4.12.7)

Електрична взаємодія обчислювалась в системі

K ', тобто

Fел = F', а магнітна в К, тобто

Fм = F.

Отже, формули (4.12.7) та (4.12.4) еквівалентні. Ми отримали правильне співвідношення сил,

визначених для одного і того ж процесу, адже електрична сила визначалась для нерухомого тіла, тоді

як магнітна – для рухомого. Таким чином, без урахування релятивістського множника

1 − β2

сили

взаємодії виявляються однаковими, хоча в лабораторній системі маємо лише магнітну взаємодію, а в системі відліку, зв'язаній із зарядом, існує лиш електрична взаємодія. Звертає на себе увагу, що ми не мали ніякого клопоту з електродинамічною сталою с. Якщо у формулу (4.12.1) с входить як коефіцієнт пропорційності, який необхідно визначити експериментально, то у (4.12.6) він входить автоматично як результат перетворення Лоренца.