Режим холостого ходу

Це режим з розімкненими полюсами джерела, тобто виконується умова

R → ∞. (3.3.10)

Струм при цьому відсутній, тому згідно з (3.3.4) маємо

ε = Uхх. (3.3.11)

З останньої формули випливає спосіб вимірювання величини ЕРС: ЕРС джерела дорівнює напрузі на

його розімкнених полюсах.

Режим максимальної корисної потужності

Корисна потужність, тобто потужність, яка виділяється на навантаженні згідно з (3.3.5)

залежить від відносних величин внутрішнього та зовнішнього опорів. Дослідивши (3.3.5) на

екстремум, тобто, розв’язавши рівняння потужність виділяється за умови

dP dR = 0, знаходимо, що у зовнішньому колі максимальна

R = ri. (3.3.12)

Зауважимо, що в цьому випадку коефіцієнт корисної дії джерела складає лише 50%.

3.4. Розгалужені кола. Правила Кірхгофа

Для розгалуженого кола застосування закону Ома в його первинній формі (3.3.3) призводить до складних викладок. Німецький фізик Густав Кірхгоф запропонував для таких випадків систему рівнянь, які називають правилами Кірхгофа. На рис. 3.4.1 наведено ділянку деякого розгалуженого кола. Електричне з’єднання трьох і більше провідників у одній точці називається вузлом. Область між двома вузлами за умови відсутності між ними інших вузлів називається віткою, тобто струм у межах вітки має однакове значення. Контуром називається довільна замкнена ділянка кола.

Правило для вузлів

Електричне поле стаціонарного струму не змінюється з часом, тобто сталими залишаються також заряди вузлів. Якщо вузол покидає деякий заряд, то, згідно із законом збереження електричного заряду, такий самий заряд за цей же проміжок часу входить у вузол по інших провідниках. Тому, вважаючи струми, що виходять із вузла, наприклад, додатними, а струми, що входять у вузол, від’ємними, можна записати правило для вузлів у вигляді суми алгебраїчних значень

сили струмів

∑ Ik = 0. (3.4.1)

Обгорнувши вузол деякою замкненою математичною поверхнею, із (3.4.1) отримуємо

∫ jdS = 0. (3.4.2)

Оскільки ∫ jdS = ∫∇ j dV, то

∇ j = 0. (3.4.3)

Рис. 3.4.1. Приклад розгалуженої ділянки кола.

Зауважимо, що у випадку нестаціонарних струмів (див. п. 3.5) умови (3.4.1) K (3.4.3) не виконуються.

Правило для контурів

Виділимо на схемі рис. 3.4.1 деякий контур, наприклад, зовнішній та припишемо напрузі на кожній вітці знак відповідно до вибраного напрямку обходу контуру (тут у напрямку руху стрілки годинника). Отримаємо систему рівнянь

ϕ1 −ϕ2 = ε1 + I 1 R 1; ϕ2 − ϕ3 = − I 2 R 2 + ε2;

ϕ3 − ϕ4 = I 3 R 3 − ε3; ϕ4 − ϕ1 = −ε4 + I 4 R 4. (3.4.4)

Поле стаціонарного струму потенціальне, тому сума напруг уздовж контуру дорівнює нулеві.

Склавши ці рівняння, отримаємо

I 1 R 1 − I 2 R 2 + I 3 R 3 + I 4 R 4 = −ε1 − ε2 + ε3 + ε4. (3.4.5)

Напруга на опорах та ЕРС джерел у (3.4.4), (3.4.5) має різні знаки відповідно до різних напрямків

струмів у них відносно вибраного напрямку обходу контуру. В такому вигляді це рівняння описує лише цей конкретний контур. Його можна узагальнити, якщо значення напруги та ЕРС розглядати як алгебраїчні величини, тобто величини зі знаком. Вважатимемо напругу на опорі додатною, якщо напрямок струму в ньому збігається з вибраним попередньо напрямком обходу контуру, і від’ємною у протилежному випадку. ЕРС вважатимемо додатною, якщо струм усередині джерела спрямований від негативного полюса до позитивного, і зі знаком "–" у протилежному випадку. В результаті

отримуємо рівняння, застосовне для довільного контуру

m n

∑ ε i = ∑ I k Rk. (3.4.6)

i =1

k =1

Тут m – число джерел ЕРС, а n – число віток у контурі. З розглянутого зрозуміло, що рівняння для контурів є узагальненням закону Ома для повного кола.

Під час розв’язування задач на застосування правил Кірхгофа необхідно дотримуватися таких приписів.

1. Цілком довільно вибираються напрямки струмів у вітках. Якщо розрахунок дає додатне числове значення для сили струму, то його напрямок угадано правильно. Якщо отримане число від’ємне, то попередньо вибраний напрямок струму необхідно замінити на протилежний.

2. Записуються рівняння (3.4.1) для вузлів. Із закону збереження заряду випливає, що сума струмів у всіх вітках кола повинна дорівнювати нулеві. Ця неявна додаткова умова зменшує на одиницю число незалежних рівнянь для вузлів, тому кількість цих рівнянь на одиницю менша від числа вузлів. Правила знаків для струмів необхідно дотримуватися лише в межах одного вузла. Не буде помилкою, якщо для іншого вузла це правило замінити на протилежне. Однак, для уникнення непорозумінь надійніше дотримуватись єдиного правила знаків для всіх вузлів. Подібне застереження стосується і складання рівнянь для контурів.

3. Рівняння для вузлів доповнюють рівняннями для контурів, узявши таку кількість їх, аби загальне число рівнянь дорівнювало числу віток, тобто числу невідомих струмів. Необхідно вибирати такі контури, щоб у систему рівнянь входили всі наявні у колі джерела ЕРС.

3.5. Нестаціонарні струми. Рівняння неперервності

Нестаціонарні та квазістаціонарні струми

Якщо струм стаціонарний, то у будь-якій точці кола електричне поле, тобто й розподіл заряду не змінюються в часі. У випадку змінного струму внаслідок скінченного значення швидкості

поширення поля

c = 3 ×1010 см с

в різних ділянках кола воно досягає певного значення (наприклад,

максимального) в різні моменти часу. Розглянемо це питання докладніше за допомогою рис. 3.5.1.

Нехай у точці 0 існує джерело змінного електричного поля

E (t, 0) = E 0 cos ω t. Поле поширюється

вздовж осі ОZ із швидкістю v. В момент часу t у точці з координатою z існуватиме такий стан

коливання, який існував у точці 0 у попередній момент часу коливань від початку координат до шуканої точки. Тобто маємо

t − τ, де

τ = z

v – час поширення

0 cos⎜

E (t, z)= E ⎛ω t −

2π z ⎞

⎟, (3.5.1)

⎝ λ ⎠

де враховано ωτ = 2π z v T

і v T = λ – довжина хвилі. Параметр

k = 2π

λ

(3.5.2)

називається хвильовим числом, а лінійна комбінація аргументів t і z

Φ = ω t − kz

(3.5.3)

фазою хвилі.

Нестаціонарним вважається струм (відповідно й електричне коло), якщо довжина кола l є

одного порядку, або навіть перевищує довжину хвилі електричного поля

l ≥ λ. (3.5.4)

Це еквівалентно умові, що час поширення хвилі вздовж кола tl

перевищує його

сумірний з періодом коливань чи

t l ≥ T. (3.5.4’)

Рис. 3.5.1. Електричне поле нестаціонарного кола.

Якщо коло змінного струму коротке, тобто виконується нерівність

l << λ, (3.5.5)

або, відповідно,

tl << T, (3.5.5’)

то струм у колі називається квазістаціонарним. Рівняння Кірхгофа без застережень можна застосовувати лише для стаціонарного та квазістаціонарного струму.

Отже, для нестаціонарного струму його фаза вздовж кола відчутно змінюється, тоді як для

квазістаціонарного струму зміною фази вздовж кола можна знехтувати. Довжина хвилі, якій

відповідає промислова частота

ν = 50 Гц, складає

λ = 6000 км. Ця величина значно перевищує

довжину кола, яке використовується в лабораторних умовах, тому коло тут квазістаціонарне. Проте, якщо йдеться про лінію електропередачі, довжина якої може сягати тисяч кілометрів, то в цьому випадку коло нестаціонарне.

Рівняння неперервності

На рис. 3.5.2 синусоїдальна крива зображає розподіл електричного поля на деякому відрізку нестаціонарного кола у вибраний момент часу. Штриховими лініями виділено ділянку, на якій вкладається половина довжини хвилі. Якщо в деякий момент часу на лівому краю ділянки поле досягло амплітудного значення і спрямоване праворуч, то на протилежному краю в цей же момент

часу поле теж має амплітудне значення, але протилежний напрямок. Тобто струми крізь обидві

поверхні, які відділяють ділянку довжини

λ 2, спрямовані назустріч, заряджаючи її позитивно.

Через половину періоду напрямок поля зміниться на протилежний, струм буде витікати з вузла з обох кінців, тобто заряд ділянки змінюється на від’ємний. Отож, у випадку нестаціонарних процесів

довільно вибрана ділянка кола виявляється зарядженою, причому величина та знак заряду з часом

періодично змінюються. Якщо за малий проміжок часу dt

з даної ділянки кола вийде заряд dq', то за

законом збереження заряду в ній залишиться рівний за модулем, але протилежний за знаком заряд

dq = − dq'. Повний струм, що виходить із поверхні, яка оточує цю ділянку, є

I = ∫ jdS =

dq'

dt

= − dq

dt

. (3.5.6)

Заряд ділянки можна виразити через об’ємну густину

∫ ∫

виділеної ділянки, тобто маємо

q = ∫ρ dV, де інтегрування ведеться в об’ємі

jdS = − d ρ dV.

dt

Використавши теорему Остроградського, отримуємо

jdS =

∇ j dV = − d

ρ dV = −

∂ρ dV. (3.5.7)

∫ ∫ dt ∫ ∫ ∂ t

Рис. 3.5.2. До пояснення процесів у нестаціонарному колі.

Часткова похідна

∂ρ ∂ t

означає диференціювання по явній залежності від часу. Застосування її

враховує той факт, що об’ємна густина заряду може ще неявно залежати від часу у випадку, коли провідник у деякій системі відліку переміщується. Повна похідна по часу в попередньому виразі виражає той факт, що визначений інтеграл по об’єму є функцією лише часу. Прирівнявши підінтегральні вирази в (3.5.7) та (3.5.8), отримуємо рівняння неперервності в диференціальному

вигляді

di v j = ∇ j = - ∂ρ. (3.5.8)

∂ t

Формула (3.5.8), як і (3.5.6) виражає закон збереження заряду, якщо поверхня, що оточує об’єм, є

прозорою для електричних зарядів. Ці формули називаються рівнянням неперервності.

3.6. Перехідні процеси в колі з конденсатором

Хоча в колі з конденсатором постійний електричний струм не може існувати, проте, приєднавши до нього джерело постійної напруги та резистор, рис. 3.6.1, ми спостерігатимемо у колі затухаючий струм заряджання конденсатора. Перекинувши ключ у положення 2, спостерігаємо затухаючий струм розряджання, який протікає тепер у протилежному напрямку. Процеси, в яких система прямує від одного положення рівноваги до іншого, називаються перехідними або

релаксаційними. Вважатимемо, що тривалість τ перехідного процесу набагато перевищує час,

необхідний для поширення електричного поля вздовж кола. Це означатиме, що процес

квазістаціонарний і можна застосовувати закони постійного струму.

В момент часу

t = 0

замикаємо коло на джерело ЕРС. Із закону Ома для повного кола маємо,

що в момент часу t напруга U на конденсаторі дорівнює

U (t)= ε − IR. (3.6.1)

Рис. 3.6.1. Схема RC-кола.

Залежність напруги від накопиченого заряду q визначається формулою q = CU, тому струм у колі

I = C dU. (3.6.2)

dt

Отримуємо неоднорідне диференціальне рівняння

RC dU

dt

= ε− U.

(3.6.3)

Увівши нову змінну U ' = U − ε, отримуємо однорідне рівняння

'

RC dU

dt

= − U '.

Розв’язок його за початкової умови t = 0, U = 0 має вигляд

U = ε[1− exp(− t

RC)]. (3.6.4)

Залежність напруги на конденсаторі від часу заряджання наведено на рис. 3.6.2. а.

По замиканні конденсатора, зарядженого до напруги U = ε, на резистор R процес розряджання

описується рівнянням

U + IR = 0, (3.6.5)

розв’язком якого з урахуванням початкової умови t = 0, U = ε є вираз

U = εexp(− t

RC). (3.6.6)

Сила струму в обох процесах, згідно з (3.6.2), є

ε

I = ± exp(− t

R

RC), (3.6.7)

де знак "–" відповідає протилежному напрямку струму розряджання конденсатора. Графік цієї

залежності зображено на рис. 3.6.2. б.

Величина

Рис. 3.6.2. Перехідні процеси в колі з конденсатором.

τ = RC

(3.6.8)

має розмірність часу і називається характеристичним часом релаксації. При розряджанні

конденсатора τ

визначає проміжок часу, за який напруга спаде в е раз, де

e = 2. 718 – основа

натуральних логарифмів.

3.7. Інші струми

Досі вивчався струм, викликаний лише електричним полем. Тут розглядаються деякі інші механізми підтримання струму.

Дифузійний струм

При наявності градієнту концентрації вільних частинок у речовині (∇ n ≠ 0)

виникає дифузія

їх, тобто рух, спрямований у бік, протилежний до градієнта концентрації. Зміна концентрації

частинок за проміжок часу dt

описується першим законом Фіка

dn = −χ∇ n dt, (3.7.1)

де χ

– коефіцієнт дифузії. Якщо частинки заряджені, то виникає спрямований рух електричних

зарядів – дифузійний струм. Для спрощення будемо вважати, що концентрація змінюється лише

вздовж одного напрямку (одновимірна дифузія), тобто ∇ n = dn dx. Якщо заряд однієї частинки q, то

густина об’ємного струму

j = q dn = -q χ dn = -χ d ρ. (3.7.2)

диф dt

dx dx

Тут

ρ = qn

– густина рухомого заряду. Знак "–" указує, що дифузійний струм тече в напрямку,

протилежному до градієнта. Якщо заряди негативні, наприклад, електрони, то

j = − e dn = χ d ρ. (3.7.3)

диф

dt dx

Дифузійний струм виникає внаслідок неоднорідного розподілу зарядів (∇ n ≠ 0). Останнє означає

існування надлишкового заряду того чи іншого знаку, що тягне за собою існування відповідного

макроскопічного поля

E i. Крім того, речовина може знаходитись у деякому зовнішньому полі

E 0.

Результуюче поле

E = E 0 + Ei

залежить від об’ємної густини заряду як

∇Ε = ρ

ε. Це поле

викликає дрейфовий струм густиною

jдр = λ E

. Отже, в загальному випадку струм визначається як

дифузійною, так і дрейфовою компонентою

j = j

диф

+ jдр

= −χ d ρ + λ E. (3.7.4)

dx