Поняття електричного поля

З’ясовуючи механізм взаємодії електричних зарядів, ми зупиняємось перед вибором, чи електрична сила виникає лише в момент появи іншого заряду, чи вона потенційно завжди існує у просторі, а інші заряди лише виявляють її існування. Не виходячи за межі електростатики, неможливо дати ствердну відповідь на жодне з цих питань. Однак, вивчення електричних явищ дуже спрощується, якщо виходити з останнього припущення, тобто, що в усіх точках простору навколо заряду існує електрична сила, спричинена присутністю цього заряду і незалежно від того, проявляється ця сила в дії на інші заряди, чи не проявляється в разі відсутності їх. Саме такий – польовий механізм електричної взаємодії, запропонований Фарадеєм, прийнято в сучасній фізиці. Якщо у просторі існують електричні сили, що діють на електричні заряди, то кажуть, що в ньому існує електричне поле. Хоча в межах електростатики існування поля довести неможливо, однак, вивчаючи електромагнітні явища, тобто змінні електричні та магнітні поля, можна переконатися, що поняття електричного поля має глибокий зміст. Електричне поле є об'єктивною реальністю й існує навіть у відсутності електричних зарядів як компонента електромагнітної хвилі. Електромагнітне поле містить у собі та переносить енергію, має імпульс, скінченну швидкість поширення, рівну

2, 997 ×1010 см с у вакуумі. Поле, поряд із речовиною, є окремим видом матерії.

Напруженість електричного поля

Для кількісної характеристики електричного поля введена фізична величина напруженість електричного поля. Розглянемо силу, що діє на точковий заряд Q у полі, створеному n точковими

зарядами q 1 ,q 2, K ,qn. Враховуючи адитивність електричних сил, маємо

n q

i

F = kQ ∑ r 3 ri. (1.4.1)

i =1 i

Сила виявляється пропорційною величині заряду Q, тому, поділивши на Q обидві частини рівності, отримаємо вираз, який залежить від величин зарядів qi, що створюють поле, відстаней їх r i до даної точки поля, але не залежить від величини вміщеного в цю точку заряду Q, тобто не залежить від приладу, який вимірює електричну силу. Векторна величина, яка дорівнює відношенню електричної

сили, що діє на точковий заряд Q, до його величини, називається напруженістю електричного поля

E = F.

Q

Для напруженості поля, утвореного n точковими зарядами, маємо з (1.4.1)

(1.4.2)

n q

E = k ∑ i ri. (1.4.3)

i = 1 ri

Зокрема, напруженість поля одного точкового заряду q

E = k q r. (1.4.4)

r 3

Часто для стислості замість виразу “напруженість електричного поля" вживають термін вектор E

або просто електричне поле.

Принцип суперпозиції електричних полів

Смисл цього важливого принципу полягає в тому, що електричне поле довільного заряду в довільній точці не залежить від присутності в цій точці полів, утворених іншими зарядами. В математичному розумінні це означає, що напруженість у даній точці поля дорівнює сумі напруженостей полів, утворених окремими зарядами у цій точці. Дійсно, із (1.4.3) отримуємо

E = ∑ E i. (1.4.5)

Принцип суперпозиції є суто експериментальним фактом і випливає із властивості адитивності

електричних сил (1.2.2). З точки зору квантової електродинаміки принцип суперпозиції електричних полів виконується внаслідок порівняно малого значення константи електромагнітної взаємодії

α e =1 137, що дає можливість нехтувати розсіянням фотона на фотоні. В дуже інтенсивних

електромагнітних полях фотон-фотонне розсіяння стає відчутним і принцип суперпозиції повинен

порушуватись.

Використання принципу суперпозиції суттєво спрощує вирішення різноманітних електричних задач, дозволяючи проводити аналіз спершу для простих систем, наприклад, для точкових зарядів. Для більш складної системи зарядів результати аналізу легко узагальнюються на основі цього принципу.

Лінії напруженості електричного поля

Задля наочності електричне поле зображають на площині за допомогою ліній напруженості або силових ліній поля, рис. 1.4.1. Лінія напруженості електричного поля – це напрямлена лінія, дотична до якої у кожній точці лінії збігається з напрямком вектора напруженості поля в цій точці. Для відтворення амплітуди електричного поля домовились лінії поля в околі точки проводити з такою густиною, аби число ліній, що пронизують одиничну площу поверхні, перпендикулярної до поля,

було пропорційним модулю E.

Рис. 1.4.1. Силова лінія.

Оскільки Е однозначна функція точки, то силові лінії електричного поля не перетинаються, інакше в точці перетину можна було би провести дві дотичні, тобто визначити два напрями Е. Крім того, силові лінії електростатичного поля завжди розімкнені. Один кінець лінії знаходиться на заряді,

інший спрямовується на безмежність або закінчується на заряді протилежного знаку.

Рівняння для силової лінії випливає з факту паралельності вектора

E = i E x + j E y + k E z та

елемента силової лінії dl = i dx + j dy + k dz

в околі точки дотику, тобто

dx = dy

Ex Ey

= dz

Ez

. (1.4.6)

1.5. Електрична теорема Остроградського-Гауса в інтегральній формі

Якщо розподіл зарядів у просторі та величини їх відомі, то завжди можна розрахувати електричне поле в заданій точці, розділивши при необхідності макроскопічні заряди на елементи, які можна вважати точковими, та, використавши формулу (1.4.3). Однак, такі безпосередні розрахунки часто потребують громіздких математичних викладок. Виявляється, що розв’язок багатьох задач можна значно спростити, якщо попередньо встановити деякі загальні властивості електричного поля. Електрична теорема Остроградського-Гауса якраз дозволяє значно спростити математичні обрахунки. Вона є потужним аналітичним засобом дослідження властивостей електричного поля.

Потік вектора напруженості електричного поля

Теорема оперує поняттям потоку вектора напруженості електричного поля. Проведемо у просторі, де існує електричне поле, математичну поверхню S довільної форми. Виділимо елемент

поверхні dS

настільки малий, що його можна вважати елементом площини, рис. 1.5.1. За такої умови

можна задати орієнтацію елементу поверхні одиничним вектором нормалі n. Це дає можливість

описати єдиною векторною величиною

dS = dS n, у якій об’єднано два поняття: площа елемента

поверхні та орієнтація його у просторі. Скалярна величина

d Φ = EdS cos α = EdS

називається

потоком вектора Е крізь елемент поверхні, або просто елементом потоку Е. Елемент потоку

об'єднує вже три поняття: площа елемента dS, амплітуда поля Е в межах dS

взаємну орієнтацію Е та dS.

та кут α, який визначає

Потік напруженості електричного поля є адитивною величиною, тобто потік крізь довільну поверхню S скінченних розмірів визначається інтегралом

Φ = ∫ EdS. (1.5.1)

Потік крізь замкнену поверхню позначається як

Φ = ∫ EdS, причому орієнтацію елемента dS

тут

прийнято визначати зовнішнім вектором нормалі n.

Поняття потоку є одним з основних у векторному аналізі й широко застосовується у формулюванні законів електродинаміки. Це поняття запозичене з гідродинаміки, де потік рідини чи

газу крізь деяку поверхню визначається інтегралом

Φ = ∫ v dS. Тут v – швидкість течії у межах

елемента dS, тобто Φ визначає об'єм рідини, пропущеної крізь поверхню площею S за одну секунду.

В електростатиці у поняття потоку напруженості поля не вкладається такого буквального смислу,

оскільки статичне поле – це поле, яке вже поширилось і далі не змінюється. Термін "потік" тут використовується лише внаслідок математичної аналогії з реальним потоком рідини чи газу.

Рис. 1.5.1. До поняття потоку електричного вектора.