Визначення умов спостережливості

При побудові систем керування необхідно мати інформацію про координати стану. Ця інформація може бути здобута у результаті вимірювання координат об’єкта , яких як правило менше ніж число координат стану . В цьому випадку визначення вектора стану на основі вимірювання координат та керувань неможливо без додаткової інформації та розрахунків. Можливість визначення координат стану за даними вимірювань характеризує властивість спостережливості об’єкта.

Лінійний динамічний об’єкт з вихідною змінною називається спостережливим, якщо довільний стан можна визначити маючи кінцевий набір вихідних змінних , , , …, .

Хай об’єкт описується векторно-матричними дискретними рівняннями у вигляді

.

Тоді на кроці

на

на

– матриця спостережливості (3.69)

Таким чином, якщо всі вектора вхідних впливів відомі, то для однозначного визначення невідомих, які утворюють вектор стану , достатньо взяти рівнянь Система рівнянь розв’язується при виконанні умов .

Якщо розглядати загальний розв’язок рівнянь стану (7.1) об’єкта, то можна визначити що об’єкт є повністю спостережливий тільки у тому випадку коли є лінійна незалежність стовпців матриці або лінійна незалежність строк матриці .

Лінійна стаціонарна система є повністю спостережливою тільки у тому випадку, якщо матриця

(3.70)

є невиродженою.

Лінійна стаціонарна система є повністю спостережливою якщо стовбці матриці

, (3.71)

де та відповідно розмірність векторів та , лінійно незалежні.

У задачах керованості та спостережливості має місце принцип подвійності: для будь – якої задачі керованості можна побудувати таку задачу спостереження що її розв’язок буде і розв’язком керованості.

Отже щоб оцінити властивість спостереження об’єкта можна оцінити властивість керованості для подвійного об’єкта. Якщо рівняння стану об’єкта має вигляд

, (3.72)

то для подвійного об’єкта рівняння стану будуть

, (3.73)

Система повністю спостережлива тоді коли подвійна її система повністю керована; система повністю керована коли подвійна спостережлива.

Якщо для (7.11) матриці керованості та спостережливості відповідно мають вигляд

, (3.74)

то для (7.12) вони мають вигляд

(3.75)

Тобто система повністю спостережлива тоді, коли подвійна її система повністю керована; система повністю керована, коли подвійна спостережлива.

Критерієм повної керованості та спостережливості об’єкта, що задано передаточною функція

,

є відсутність однакових коренів у поліномах та , тобто відсутність компенсації полюсів передаточної функції її нулями.

Нехай система описується рівняннями

.

Тому що

є виродженою то пара некерована.

Також

має залежні строки, то система некерована.

Відомо, що у цифрових системах керування завжди присутня операція квантування у часі. Тому умови керованості та спостережливості можуть залежати від періоду квантування

Тоді для керованості треба, щоб матриця

,

де , мала ранг .

Якщо для деякого періоду квантування при , то система буде одночасно некерованою та неспостережливою.

На керованість системи також буде впливати і кінцева розрядність слова у мікропроцесорі, тому що значення сигналів будуть скорочені та округлені. Однак, якщо рівні квантування будуть малими, то проблема квантування не стоїть так строго.

П 3.23

Для умов задачі П 3.21 визначити умови спостережливості

Умови задовольняються