Поняття про формуючий фільтр

Вираз, який визначає зв'язок мiж спектральними щільностями сигналiв на входi та на виходi стацiонарної стiйкої лiнiйної системи у сталих режимах, дозволяє знайти частотну характеристику такої ланки, яка формує випадковий процес iз заданою спектральною щільнiстю з одиничного бiлого шуму, де - спектральна потужність білого шуму.

Хай спектральна щільність є дрiбно-рацiональною функцiєю, тобто. У силу того, що спектральна щільність є дiйсною та парною функцiєю, полiноми та мають парну степiнь та, тобто утримують тiльки парнi степенi. Тому їх коренями будуть комплексно-сполученi числа

та

Будемо вважати, що всi полiноми та не мають коренiв, якi розташованi на дiйсної осi. Таким чином має коренiв, якi розташованi у верхнiй півплощині площини , та коренiв - у нижнiй. Відповідно полiном має коренiв у верхнiй та коренiв у нижнiй півплощинах (Рис.2.212).

Рис. 2.212 Розподіл коренів у верхнiй та нижнiй півплощинах

Коренi також розташованi симетрично вiдносно мінливої та дiйсної осей площини . При виконаннi цих умов кожний iз полiномiв та можна представити як добуток двох других полiномiв, коренi одного з яких розташованi у верхнiй півплощині, а другого - у нижнiй півплощин

,

де та - коефiцiєнти при старших степенях змiнної w у полiномах та . Якщо кожний з полiномiв помножити на множники та , то здобудемо

Отже, можна записати

де

,

а всi коренi полiномiв та розташованi у лiвiй півплощині .

Рис. 2.213 Розподіл коренів у лівої та правої півплощинах

Отже, можна визначити як

Таким чином, ланка яка формує випадковий процес iз заданою спектральною щільнiстю iз бiлого шуму визначається спiввiдношенням

(2.297)

Така ланка зветься формуючим фiльтром.

При цьому усi нулi та полюси передаточної функцiї формуючого фiльтру розташованi у лiвiй півплощині комплексної площини , тобто цей фiльтр при є фiзично реалiзуємим.

П 2.86

Знайти формуючий фiльтр для випадкових процесiв, якi мають спектральну щільність

1) 2)

1. Визначимо як

Отже, передаточна функцiя формуючого фiльтру буде

2. Для другого випадку

,

П 2.87

Визначити випадковий сигнал із заданими статистичними характеристиками

Формується “ білий шум “ та визначаються його статистичні характеристики

2. Визначається структура формуючого фільтру та статистичні характеристики вихідного сигналу

П 2.88

Визначити статистичні характеристики випадкового сигналу на виході формуючої ланки

1. Формується білий шум

Кореляційна функція

2. Модуль АЧХ замкнутої системи

1. Сигнал на виході

1. Кореляційні функції сигналів на вході та виході

1. Густина спектру вхідного та вихідного сигналів

7. Кореляційні функції, розраховані теоретично та експерементально

Кореляційні функції добре співпадають