Принцип лінеаризації рівнянь

У більшості практичних задач зміна вхідного сигналу поблизу робочої точки буває настільки малою, що нелінійна характеристика зв`язку може бути приблизно замінена лінійною. Така операція називається лінеаризацією.

Хай вхідний сигнал нелінійного елементу зображується у вигляді

(2.11)

де – математичне очікування вхідного сигналу

– центрована випадкова складова вхідного сигналу.

Візьмемо за центр розкладу математичне очікування, а нелінійну характеристику розкладемо у ряд Тейлора відносно центрованої випадкової складової

Рис.2.8

(3.12)

Якщо центрована складова у робочої точки мала, то можна обмежитися тільки лінійними членами розкладу. Така заміна нелінійної залежності вихідного сигналу від вхідного наближеною залежністю при перемінному математичному очікуванні вхідного сигналу рівноцінно заміні кривої рухомої дотичної до неї у точці .

Таким чином, наближена залежність лінійна тільки відносно випадкових коливань (флуктуацій) та остається нелінійною відносно корисного сигналу. Внаслідок цього принцип суперпозиції для лінеаризованих характеристик справедливий тільки при

Величина дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої у точці , тобто , (2.13), де – коефіцієнт лінеаризації.

Якщо розглядати поведінку системи при малих відхиленнях , то перенесення початку координат дає рівняння у відхиленнях . Якщо ж робоча точка системи є сталою та дорівнює , то можна узагальнити результати, тобто

(2.14)

Таким чином, коефіцієнт лінеаризованого рівняння залежить від вибору робочої точки на статичній характеристиці елементу.

П 2.9

Скласти загальну математичну модель замкнутої системи