ЗАДАНИЕ С5

Известно, что уравнение имеет хотя бы один корень. Найдите все значения параметра , при которых число различных корней этого уравнения равно числу различных корней уравнения .

Решение:

Если , , то первое уравнение – линейное: . У него один корень .

Если , то первое уравнение – квадратное. Найдем его дискриминант:

. Если , то .

Значит, уравнение имеет корни только при . Причем, при и – корень один, а при – два корня.

Пусть . Тогда при второе уравнение примет вид

, . Исследуем функцию . Найдем производную .

Так как , то возрастает на всей числовой прямой . Поэтому уравнение или не имеет корней, или имеет только один корень. Первый случай невозможен по условию задачи. Значит, (см. 1) и 2)) или , или , или .

Если , то получаем уравнение . По условию , и так как возрастает, то . Значит, неотрицательных корней у уравнения нет.

Если , то получаем уравнение . Так как , и функция непрерывна, то уравнение имеет корень на промежутке .

Если , то получаем уравнение . Так как , то так же, как и в случае , уравнение имеет корень на промежутке .