Коефіцієнт відбиття від багатошарової системи. Методи обробки даних ПППР вимірювань

Використовуючи рівняння Максвелла, можна описати поширення плоского, монохроматичного, лінійно поляризованого електромагнітного поля в багатошаровій тонкоплівковій системі. Експериментально вимірювана крива поверхневого плазмонного резонансу залежить від оптичних сталих (коефіцієнтів заломлення і поглинання) усіх фаз, з якими взаємодіє електромагнітна хвиля (матеріалів призми, металевого шару, речовини, адсорбованої на поверхні цього шару, зовнішнього середовища та інших фаз, що можуть, у залежності від умов вимірів, входити в досліджувану систему), а також геометричної товщини всіх шарів, у тому числі товщини золотої плівки і адсорбованого шару. Ця залежність може бути представлена в наступному вигляді: (2.4.), де R_p(q) означає коефіцієнт відбиття p- поляризованої електромагнітної хвилі, що падає на межу поділу під кутом q, а Y_p - узагальнений адмітанс сукупності шарів, що відбивають, для зазначеної довжини хвилі, який може бути розрахований за допомогою наступного рівняння: (2.5.), де s означає повну кількість шарів багатошарової системи (Рис. 2.4.), включаючи зовнішнє середовище, j -номер шару, що розглядається, β_j -фазова товщина шару з номером j: (2.6.), u_jp - адміттанс j-го шару (для p- поляризованих електромагнітних хвиль): (2.7.), де N_j = n_j - ik_j означає комплексний коефіцієнт заломлення шару, що розглядається, q_j - кут падіння всередині j -го шару, l - довжина хвилі, d_j -товщина шару, а q_o -зовнішній кут падіння. Адміттанси u_p0 і u_p відносяться до призми повного внутрішнього відбиття і до зовнішнього середовища відповідно. Інший теоретичний підхід до опису багатошарових структур розглядає використання інтегрального коефіцієнта Френеля для р -поляризації: (2.8), де r₀₁,r₁₂, r₂₃ – коефіцієнти відбиття Френеля для відповідної межі поділу, b₁, b₂ - фазові товщини шарів. Рівняння (2.8) дозволяє розраховувати 3-хшарову структуру. B випадку j шарів зручно користуватися розрахунком з використанням формалізму матриці ефективних оптичних сталих: , (2.9) де матриця межі поділу між шарами a і b: , а матриця шару: , де r_ab - коефіцієнти відбиття Френеля для відповідної межі поділу, b_j - фазова товщина відповідного шару. Коефіцієнт відбиття шаруватої структури визначається елементами першого стовпця матриці ефективних оптичних сталих. Комп’ютерне моделювання показало що в цілому обидва підходи дають одинакові результати. Хоч рівняння (2.4) описує ППР- явище, як функцію залежності від кута падіння q з використанням монохроматичного джерела світла (тобто λ - стала), можна легко отримати вираз для відбивальної здатності, як функцію λ, вбачаючи сталим значення кута падіння q. На практиці при створення сенсорів ППР використовують як кутові спектри, так і спектри по довжині хвилі.

Кут, який відповідає мінімуму інтенсивності відбитої хвилі можна визначити з рівняння . Розміщення діелектричного покриття на поверхні металу в вигляді адсорбованих біомолекул викликає зростання величини хвильового вектора ППП . Можна спробувати розрахувати зміну коефіцієнта діелектричної проникності при адсорбції молекул, а точіше ефективної сприйнятливості субмоношарового молекулярного покриття. Рівняння самоузгодж. поля має вигляд (1) (ще див. пит. Закон дисперсії поверхневого плазмон-поляритону). Система є макроскопічно однорідною в площині підкладинки. При чому лінійний розмір молекул суттєво менший за довжину хвилі та середню відстань між молекулами в шарі. Це дозволяє спростити суму у правій частині (1): . Тут введено усереднений тензор лінійного відгуку молекули . Можна ще усереднити за положенням молекул в шарі. Розподіл вдовж поверхні рівномірний й тому . Кожен з N-1 доданків у правій частині можна перетворити наступним чином:

. Тоді, очевидно, . Рівняння самоузгодженого поля в представленні Вейля має вигляд . Оскільки є відгуком на локальне поле, то . Це дає можливість записати рівняння на поляризовність молекулярного шару в k-z представленні: , розв’язком якого є . Тут перший множник у правій частині має сенс лінійного відгуку на зовнішнє поле — ефективну сприйнятливість. Розв’язуючи побудоване на його основі рівняння отримаємо закон дисперсії від форми частинок через їх концентрацію та форму. Аналітично зручніше за все розглядати моделі частинок у формі еліпсоїдів, оскільки за однорідного зовнішнього поля всередині них теж однорідне поле. Далі показано як змінюється резонансний кут зі зміною форми частинок: (на рис. 1 маємо зсув дисперсфної кривої, що призводить до зсуву резонсного кута на рис. 2)

Рис. 1

Рис. 2

Так само наявна залежність від концентрації: (зсув кривої на рис. 3)