Метод Монте-Карло

Існують різні підходи до моделювання систем, що містять стохастичні характеристики, але найбільш простим і поширеним є метод випадкової вибірки, відомий ще під назвою методу Монте-Карло. Створення цього методу пов’язане з роботою відомого американського математика, одного з засновників кібернетики, Джона фон
Неймана, який у кінці 40-х років ХХ ст. увів цей термін при вирішенні проблеми екранування (захисту) від ядерних випромінювань. Назва методу походить від назви столиці князівства Монако, відомої своїми ігорними домами, де важливе місце відводиться рулетці. У добре збалансованої рулетки кулька (чи стрілка-покажчик) може
зупинитися в якому завгодно положенні, тому ймовірність випадання будь-якого числа однакова для усіх чисел на барабані.

Подивимося на рулетку з позиції дослідника. Уявімо, що на диску містяться цілі числа з деякого інтервалу. Після кожного випробування будемо в прямокутній системі координат на осі ординат відкладати ці числа, а на осі абсцис – відповідно порядкові номери їх появи. Тоді при досить великій кількості випробувань ми отримаємо множину точок, майже рівномірно розташованих на згаданій координатній площині.

Інший метод отримання рівномірно розподілених випадкових чисел – використання лототрону. За необхідності отримати m - розрядні випадкові числа можна було б m разів підряд запускати рулетку або витягати з лототрону підряд m куль (зрозуміло, повертаючи їх знову до лототрону після кожного випробування). Рівномірний розподіл випадкових чисел – це ідеалізоване математичне поняття, й фактично на практиці такі розподіли не зустрічаються.

Насправді при використанні методу Монте-Карло немає необхідності багаторазово обертати рулетку або барабан лототрону:
випадкові числа давно визначені і записані в спеціальні таблиці. Фрагмент такої таблиці для т = 4 приведений нижче.

Таблиця чотиризначних випадкових чисел.

У випадках, коли випадкові числа беруть з таблиці, то не обов’язково розпочинати з найпершого числа: в таблицю можна входити з будь-якого місця. Проте надалі треба використати певну регулярність. Наприклад, брати числа підряд уздовж рядків, зміщуючись увесь час направо (чи наліво), або уздовж стовпців (вгору або вниз), нічого не пропускаючи, тобто не можна вибирати «гарні» числа і пропускати «незручні», наприклад, дуже малі.

У природних і виробничих умовах, в громадських і багатьох
інших явищах спостерігаються розподіли нерівномірні. Такими є розподіли, характерні для коливань купівельного попиту, для величини урожаю в різні роки, для виробничих похибок і похибок вимірювань, для рівня перешкод при передачі інформації і т. п. Відомі різні види нерівномірних розподілів випадкових величин. Всі їх
вивчає окрема наука – математична статистика.

При моделюванні випадкових величин їх розподіл визначають одним із двох способів:

1) за певним теоретичним законом методами математичної статистики;

2) на основі даних, що їх отримують за результатами спеціально поставленого натурного експерименту, і саме цим способом ми скористаємося.

Для роботи комп’ютерів з випадковими числами спочатку були здійснені спроби вводити ці числа в машину ззовні. Вводили в пам’ять готові таблиці, будували прилади на основі випадкових фізичних процесів (наприклад, радіоактивного розпаду або підрахунку кількості електронів, що вилітають за деякий фіксований проміжок часу з розжареного катода), і отримані на цих приладах числа також вводили в пам’ять. Проте одне й інше працювало однаково погано: таблиця цих чисел в комп’ютері швидко вичерпувалася, а випадкове фізичне явище взагалі не можна відтворити з тією ж послідовністю чисел для перевірки або проведення повторних розрахунків.

Саме в цій ситуації Джон фон Нейман придумав алгоритм генерування (утворення) чисел, дуже схожих на випадкові і рівномірно розподілених в інтервалі [0, 1]. Ці числа ще називають псевдовипадковими (немов би, майже випадковими), оскільки їхня послідовність, на жаль, виявляється періодичною.

Кількість чисел в періоді намагається збільшувати шляхом удосконалення алгоритму їх утворення. У сучасних мовах програмування такі алгоритми реалізовані в спеціальних стандартних функціях. Так, відома функція RND (Х) генерує рівномірно розподілену в інтервалі [0, 1] послідовність псевдовипадкових чисел. Назва функції походить від англійського random – випадковий. У електронних таблицях також є відповідна функція.

Ідея методу Монте-Карло полягає в тому, що при побудові стохастичних моделей деякі важливі параметри моделі задають за допомогою випадкових чисел. Основна проблема тут зводиться до пошуку зручного і надійного джерела (генератора) таких чисел.

У безмашинному варіанті ці числа, як відзначалося вище, беруть зі спеціальних таблиць, а за наявності комп’ютера користуються стандартним генератором псевдовипадкових чисел.

Розглянемо деякі прості приклади моделювання з використанням випадкових чисел.

.3. Моделювання броунівського руху (проста модель)

Згадаємо, що броунівським рухом називають безладний рух дрібних часток, зважених в рідині або газі, під впливом ударів молекул середовища. Уперше це явище спостерігав у мікроскоп англійський ботанік Роберт Броун у 1827 р., розглядаючи рух часток квіткового пилку, зважених у краплині води.

Як згодом було встановлено, причиною руху броунівської частки є тепловий рух молекул середовища і відсутність точної просторової компенсації ударів, що їх зазнає частка з боку цих молекул. Ці некомпенсовані удари, будучи безладними, приводять частку у безладний рух: швидкість її увесь час різко змінюється і за величиною, і за напрямом. Якщо фіксувати положення довільної частки через
невеликі однакові проміжки часу, то побудована у такий спосіб траєкторія виявляється надзвичайно складною і заплутаною ламаною
лінією. На рис. 11.1 показані фотографії руху трьох броунівських часток радіусом 0,52 мкм у воді. Точками відмічені положення часток через кожні 30 с. Відстань між поділками сітки 3,4 мкм.

Рис. 11.1

У другій половині ХIX ст. броунівський рух виявився найбільш переконливим експериментальним підтвердженням основних положень молекулярно-кінетичній теорії – вчення про хаотичний тепловий рух атомів і молекул речовини. І хоч ці частки – атоми і молекули – в оптичний мікроскоп безпосередньо не видні, але рух броунівських частинок опосередковано свідчить про рух молекул. Повну теорію броунівського руху дали в 1905 – 1906 рр. Альберт Ейнштейн і Маріан Смолуховский.

Поставимо метою моделювання траєкторії руху броунівської
частинки.