Математична й комп’ютерна моделі

Формулювання закону: Планети рухаються по еліпсах, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.

Визначення. Еліпсом називають геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох заданих точок (фокусів) є величиною постійною.

На рис. 8.11 зображений еліпс. Тут показані: F1, F2 – фокуси еліпса; GH = 2 а – велика вісь; 2 b – мала вісь, C – центр симетрії.

Рис. 8.11

Зв’яжемо з еліпсом прямокутну систему координат, її початок помістимо в точку F₁, горизонтальну координатну вісь Х поєднаємо з великою віссю еліпса, а вертикальну вісь Y направимо вертикально вгору, як показано на рис. 8.11.

Внаслідок симетрії відносно точки С маємо F₂G = F₁H.

Окремим випадком еліпса є коло (фокуси співпадають і утворюють центр кола).

Суть пропонованого нижче підходу відтворює наступну ідею: якщо стверджується, що траєкторією руху є одна з кривих другого порядку, то всі точки такої траєкторії повинні задовольняти визначенню цієї кривої. На наш погляд, це надійний спосіб відрізнити еліпс від овалу або параболу від гіперболи – адже візуально вони
дуже схожі.

Те, що орбіта є еліпсом, зазвичай сприймається учнями на віру. Проте застосування комп’ютера дозволяє організувати дослідження, спрямоване на виявлення форми траєкторії.

Якщо траєкторія дійсно є еліпсом, а центральне тіло знаходиться у фокусі F ₁, то для всіх точок такої траєкторії повинна виконуватися щойно згадана рівність

r ₁ + r ₂ = 2 a = const.

Цей факт буде перевірений в обчислювальному експерименті.

Повернемося до таблиці на рис. 8.3, яка моделює рух штучного супутника Землі. Нагадаємо, що тут на основі закону тяжіння ми розрахували координати точок орбіти, які відповідають послідовним однаковим проміжкам часу Δ t, і за цими координатами побудували саму орбіту.

Відрізки r ₁ і r ₂ визначатимемо через координати x, у довільної точки М орбіти і координати фокусів F ₁ і F ₂

:

Відповідно до рис. 8.11 конкретизуємо значення деяких величин:

: х_{F 1} = 0, y_{F 1} = 0;

х_{F 2} = | x_max| – | x_min | = | x_max | – | x ₀|;

y_{F 2} = 0.

Після перетворення попередніх формул для r ₁ і r ₂ шляхом підстановки в них щойно встановлених значень отримуємо вирази, придатні для розрахунків:

;

.