Гармонические колебания

Механические колебания и волны

Колебанием называется всякое периодически повторяющееся с течением времени изменение физической величины.

Механические колебания − всякое периодически повторяющееся с течением времени изменение положения тела в пространстве.

Различают следующие виды колебаний: свободные (собственные), вынужденные, автоколебания, параметрические колебания.

Свободными колебаниями называются колебания, происходящие в системе при выведении ее из положения равновесия под действием внутренних сил системы.

Наиболее простым случаем являются гармонические колебания. Любой сложный повторяющийся периодически процесс можно представить как сумму гармонических колебаний.

Гармонические колебания

Гармоническим колебанием называется колебание физической величины, происходящие по гармоническому закону − по закону или .

Рассмотрим механическую систему, обладающую положением устойчивого равновесия. Отклонение от положения равновесия будем задавать с помощью величины . В этом случае говорят, что система обладает одной степенью свободы. Изменение состояния системы при выведении ее из положения равновесия можно характеризовать изменением потенциальной энергии системы:

(8.1)

Условимся за нулевой уровень потенциальной энергии выбирать ее значение в положении равновесия, т.е. при смещении из положения равновесия потенциальная энергия .

Представим функцию в виде разложения в ряд Тейлора

(8.2)

Так как в положении устойчивого равновесия система обладает минимальным значением потенциальной энергии , то − условие экстремума функции, и . Обозначим и в выражении (8.2) ограничимся первыми тремя слагаемыми:

(8.3)

Выражение (8.3) задает потенциальную энергию колебательной системы, совершающей малые колебания. (По структуре формула (8.3) идентична потенциальной энергии деформированной пружины .) Возвращающая сила, действующая в колебательной системе:

,

или в случае колебаний по оси : . (8.4)

По структуре формула (8.4) идентична выражению для силы упругости при малых деформациях . Поэтому такие силы называются квазиупругими. Под действием квазиупругой силы в системе происходят малые упругие колебания.

Механическая система, в которой совершаются малые колебания под действием квазиупругой силы , называется линейным гармоническим осциллятором.

Запишем закон Ньютона или уравнение движения для материальной точки, совершающей свободные незатухающие колебания под действием возвращающей (квазиупругой) силы:

.

В результате получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

или , (8.1)

где − смещение тела из положения равновесия; − масса материальной точки, совершающей колебания под действием квазиупругой силы ; − ускорение материальной точки; − собственная (циклическая) частота гармонических колебаний.

Решением дифференциального уравнения (8.1) является зависимость:

или . (8.2)

Выражения (8.2) называются уравнением гармонических колебаний,

где − смещение тела из положения равновесия;

− амплитуда гармонических колебаний − максимальное смещение тела из положения равновесия;

− фаза гармонических колебаний; − фаза колебаний в начальный момент времени;

− циклическая частота или собственная частота гармонических колебаний;

− период гармонических колебаний − время, за которое совершается одно полное колебание;

− частота гармонических колебаний − количество колебаний, совершаемых за единицу времени.

8.2 Скорость , ускорение , энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания.

а) Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания:

, (8.3)

где − максимальная скорость материальной точки.

Колебания скорости опережают смещение по фазе на (на по времени).

б) Ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

, (8.4)

где − максимальное ускорение материальной точки.

Колебания ускорения происходят в противофазе со смещением .

в) Возвращающая сила , действующая на материальную точку, совершающую гармонические колебания:

, (8.4)

где − максимальное значение возвращающей силы, действующей на материальную точку.

г) Энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:

кинетическая энергия

, (8.5)

потенциальная энергия

, (8.6)

полная энергия гармонических колебаний

. (8.7)

.

Полная энергия гармонических колебаний сохраняется . Амплитуда колебаний также сохраняется , т.е. колебания являются незатухающими. В процессе колебаний происходит переход из потенциальной энергии в кинетическую, и наоборот.