Геометричний зміст похідної

Означення 1. Назвемо дотичною до графіка функції в точці граничне положення (якщо воно є) січної за умови, що точка необмежено наближається до точки (що рівносильне ).

Диференційовність функції в точці рівнозначна існуванню в точці

невертикальної дотичної з кутовим коефіцієнтом ( – кут

нахилу дотичної з додатним напрямом осі (див рис. 5.1).

Пояснимо це докладніше:

Нагадаємо, що , де – кут нахилу січної з додатним напрямом осі (див. приклад 1 в) підрозд. 5.1).

Переходячи до границі при в попередній рівності, отримаємо

(обидві границі існують). Отже, існує граничне положення січної, причому тангенс кута нахилу дотичної дорівнює .

Неважко упевнитися, що коли функція диференційовна в точці , рівняння дотичної до її графіка в точці має такий вигляд:

Пряму, яка проходить через точку дотику перпендикулярно дотичній до графіка функції в цій точці, назвемо нормаллю. Якщо врахувати, що кутові коефіцієнти дотичної і нормалі задовольняють умові , дістанемо рівняння нормалі:

5.4. Правила диференціювання (знаходження похідних)

Обчислювати похідну як границю відносного приросту можна лише для порівняно простих функцій. Для більш громіздких функцій обчислення похідної на основі означення може викликати певні труднощі. Техніка обчислення похідних заснована на дотриманні таких правил, що є логічними наслідками означення похідної:

1) якщо функції та мають похідні в точці , то в цій точці мають похідні їх сума, добуток та частка, при цьому мають місце рівності

( – стала);

;

;

;

2) якщо функція має похідну в точці , а функція має похідну в точці , то складена функція має в точці похідну, яка дорівнює :

.

Це правило розповсюджується на складену функцію, що є ланцюжком будь-якого скінченного числа диференційовних ланок:

;

Приклад 3. Скласти рівняння дотичної та нормалі до параболи в точці

.

Розв’язання. Для того, щоб знайти кутовий коефіцієнт дотичної, обчислимо похідну функції при .

Маємо і, значить, рівняння дотичної має такий вигляд: .

Рівняння нормалі буде таким:

Приклад 4. Провести дотичну до кривої , паралельну прямій .

Розв’язання. Нагадаємо, що кутові коефіцієнти паралельних прямих рівні між собою і тому задача розпадається на дві частини. Спочатку знайдемо кутовий коефіцієнт прямої. Він дорівнює 3. Потім потрібно знайти точку графіка, дотична в якій матиме той же кутовий коефіцієнт. З цією метою знайдемо похідну функції . Маємо

.

Тепер абсциса точки дотику визначається з рівняння . Його розв’язком буде .

Оскільки , то дотична повинна бути проведена в точці : .

3. При диференціюванні степенево-показникової функції її слід зобразити, використовуючи основну логарифмічну тотожність, у такому вигляді:

. (5.2)

Цей спосіб корисний і при знаходженні похідної від громіздкого добутку чи частки.

Приклад 5. 1. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Подамо цю функцію у вигляді ;

; . Тому .

2. Знайти похідну функції .

Функцію можна подати у такому вигляді: , або ,

. Таким чином, , де .

Все звелося до диференціювання не добутку, як було в початковому записі, а до більш простої операції – диференціювання суми.

Надалі маємо: , ;

.

Остаточно шуканий результат з урахуванням початкового запису функції буде таким:

.

4.Логарифмічна похідна це, за означенням, похідна від логарифма функції

(5.3)

Приклад 6. Знайти похідні функцій а) ; б) .

Розв’язання. а) .

за (5.3) .

б)

.

5.Похідна неявно заданої функції. Кажуть,що функція задана неявно, якщо вона задана не формулою , а лише рівнянням , якому вона задовольняє. Тобто є справедливою тотожність

(5.4)

Для знаходження похідної функції слід тотожність (5.4) продиференціювати по , вважаучи ліву частину як складну функцію від , а потім одержане рівняння розв’язати відносно .

Приклад 7. Рівняння неявно визначає дві функції , верхню та нижню частини еліпсу. Не кожну неявно задану функцію можна представити явно, тобто у вигляді формули . Наприклад, це функції з наступного прикладу.

Приклад 8. Знайтипохідні неявно заданих функцій а) ; б) .

Розв’язання. а) , , .

б) , , .

5.Похідна параметрично заданої функції. Нехай функція задана параметрично

.

Похідна обчислюється за формулою

(5.5)

Приклад 9. Знайти , якщо /