Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Поняття границі виникає у результаті розв’язання багатьох прикладних задач (площа фігури, швидкість точки і т. д.) і є фундаментом, на який спирається більшість розділів природознавства.
Перейдемо до точних означень.
Означення 1. Околом точки називається довільний інтервал, який містить цю точку. Проколеним околом точки називають окіл точки, з якого виключена сама точка . У будь-якому околі точки вміщується симетричний - окіл цієї точки, тобто сукупність точок вигляду .
Нехай функція визначена у проколеному околі точки .
Означення 2. Число називається границею функції у точці (при , що прямує до ), якщо для будь-якого околу числа знайдеться такий проколений окіл точки , що для всіх значення функції (рис. 3.1).
(Значення виключається для того, щоб подане вище означення можна було використовувати як у тому випадку, коли функція в точці невизначена (рис. 3.1,а), так і у тому, коли (рис. 3.1,б)).
a |
б | ||||
в Рис. 3.1 | Якщо – границя функції , коли прямує до , то використовують такі позначення:
За допомогою логічних символів означення скінченної границі функції у точці записується таким чином: |
. |
Можна довести, що в тому випадку, коли елементарна функція визначена в точці , знаходження границі не викликає труднощів:
. |
Приклад 1. Обчислити границі:
а) ; б) ; в) .
Оскільки в кожному околі точки міститься її деякий симетричний окіл, то в поданому вище означенні скінченної границі можна замінити околи і відповідно на і . З геометричної точки зору це відповідає тому, що графік функції для лежить у горизонтальній смузі, ширина якої з центром в .
Приклад 2. Обчислити .
Розв’язання. Функція не визначена при . Покаже-
мо, що границя цієї функції при існує і дорівнює 0. Нехай , тоді для значення
. Отже, .
Відзначимо, що неперіодична функція не має границі при . Значення цієї функції коливаються між та . При наближенні до коливання функції стають все частішими (див. приклад 9, розділ 2).
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 939 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!