Мода, медиана, квантили, квартили и децили распределения

Модой для абсолютно непрерывных распределений (M_oX) называется точка локального максимума функции плотности. Для нормального распределения: M_oX=MX; распределения, имеющие одну моду, называются одномодальными. Медиана для абсолютно непрерывных случайных величин (M_eX) – это граница, левее и правее которой находятся значения случайной величины с вероятностями, равными 0,5. Для нормального распределения M_eX=MX. Для дискретных случайных величин медиана находится на отрезке [x_l, _xl+1] при условии, что S(l|i=1) p_i £ 0,5; S(l+1|i=1) p_i > 0,5. Квантиль уровня p непрерывной случайной величины X – значение x_p, при котором функция распределения данной случайной величины F(x) принимает значение, равное p (x_p: F(x_p)=p, P(X < x_p)=p). Дополнительно: x_Me=x_0,5. Квартили для абсолютно непрерывных случайных величин (Q) – это границы, которые делят всю вероятность на 4 равные части (Q₁ – левая, Q₂ – центральная, равная медиане, Q₃ – правая квартили). Иногда используются децили, которые разделяют всю вероятность на 10 равных частей.

Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Сравнительно большое количество малых случайных величин имеет нормальное (или близкое к нормальному) распределение, которое имеет плотность типа j(x)=1/(sqr(2ps))*e^{-1/2((x-a)/s)^2}. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами a и s => X~N(a, s). С геометрической точки зрения a – точка максимума плотности и центр симметрии; при увеличении a график смещается вправо, при уменьшении – влево. А при уменьшении s максимум плотности j(x) увеличивается. При проведении некоторых математических операций и превращений делаем вывод, что параметр a – математическое ожидание, s² – дисперсия, а s - среднее квадратичное отклонение.