Точки разрыва. Классификация, примеры

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.

Классификация точек разрыва функции Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ; Эти односторонние пределы конечны. При этом возможно следующие два случая: Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу: Такая точка называется точкой устранимого разрыва. Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу: Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции. Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 1

Исследовать функцию на непрерывность. Решение. Данная функция не определена в точках x = − 1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точках x = ± 1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках. Поскольку левосторонний предел при x = − 1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода. Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода.

Пример 2

Показать, что функция имеет устранимый разрыв в точке x = 0. Решение. Очевидно, данная функция не определена при x = 0. Поскольку sin x является непрерывной функцией для всех x, то искомая функция также непрерывна при всех x за исключением точки x = 0. Так как , то в данной точке существует устранимый разрыв. Мы можем сконструировать новую функцию которая будет непрерывной при любом действительном x.

Пример 3

Найти точки разрыва функции , если они существуют. Решение. Данная функция существует при всех значениях x, однако она состоит из двух различных функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем "поведение" этой функции вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется. Вычислим односторонние пределеы при x = 0. Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0. Скачок функции в этой точке равен При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва.

Пример 4

Найти точки разрыва функции , если они существуют. Решение. Данная элементарная функция определена для всех x, исключая точку x = 0, где она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке. Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода (рисунок 2).   Рис.2   Рис.3

Пример 5

Найти точки разрыва функции , если таковые существуют. Решение. Функция определена и непрерывна при всех x, за исключением точки , где существует разрыв. Исследуем точку разрыва. Так как значения односторонних пределов конечны, то, следовательно, в точке существует разрыв первого рода. График функции схематически показан на рисунке 3.   19.Первый и второй замечательные пределы. Первый замечательный предел Рассмотрим функцию y = , аргумент x (как всегда в математическом анализе) выражается в радианах. При x = 0 функция не определена. Теорема. = 1 (первый замечательный предел). Доказательство 1) Пусть a – положительный острый угол, докажем = 1. Предварительно докажем, что sin a = 0 и cos a = 1. Рассмотрим окружность радиуса R (рис. 1.12), OA = OC = R, тогда длина дуги АС равна: R × a, АВ = R ×sin a. Так как | AB | < | |, то 0 < sin a < a. Если a ® 0, то по теореме 8 (разд. 1.8) sin a = 0. Докажем, что cos a = 1. Так как cos a = 1 – 2sin2 , то на основании теорем о пределах получим: cos a = (1 – 2sin2 ) = 1 – 2×0 = 1. Вычислим теперь . Из рис. 1.12 видим, что S D OAC < S сектор OAC < S D ODC. (*) S D OAC = R 2sin a, S сектор OAC = R 2× a, S D ODC = R 2tg a. Подставляя последние выражения в неравенства (*), находим: R 2sin a < R 2× a < R 2tg a. (**) Деля все части неравенства (**) на положительное число R 2sin a, получим: 1 < < или 1 > > cos a  (***) Применяя к неравенству (***) теорему о сжатой переменной при a ® 0 получим: = 1 (ведь cos a = 1). 2) Пусть x < 0, x = – a, тогда a > 0, = = =1. Итак, доказано, что = 1, , а потому . С помощью этого предела находятся многие другие пределы, содержащие тригонометрические функции. Второй замечательный предел Ранее рассматривались понятия последовательности (как функции натурального аргумента), предела последовательности (см. разд. 1.3, 1.4). Рассмотрим возрастающую последовательность: Для нее для любого натурального n. Если эта последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела, так как ее члены неограниченно возрастают. Если же возрастающая последовательность ограничена, то она имеет предел. Этот факт доказывается в полных курсах математического анализа [6], мы приведем лишь его полную формулировку. Теорема 1 (достаточный признак существования предела последовательности) Всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел. Применим эту теорему для доказательства следующей теоремы. Теорема 2 (второй замечательный предел) Существует предел . Доказательство. Рассмотрим последовательность с общим членом Покажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная. Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона: . Преобразуем по этой формуле , полагая : . В полученном выражении: третье слагаемое четвертое = и т.д., а последнее   Получаем: (*) Покажем, что последовательность возрастающая, т.е. : (**) Так как то и т.д., поэтому каждое слагаемое (начиная с третьего) из равенства (*) меньше соответствующего слагаемого из равенства (**), кроме того, в равенстве (**) правая часть содержит на одно (положительное) слагаемое больше. Отсюда заключаем, что . Покажем, что последовательность ограничена (сверху), т.е. Если в равенстве (**) каждую из скобок заменить на 1 (на большее число), то получим неравенство: Так как то . По формуле суммы геометрической прогрессии имеем: поэтому . Последовательность возрастает и ограничена сверху, по теореме 1 существует предел, этот предел называют неперовым числом и обозначают через e. Итак, . Так как 2 < an < 3, то 2 < an 3, т.е. 2 < e 3. Это число e иррациональное и e 2,718282. Число e широко используется как основание для показательной функции (экспонента) и как основание для логарифмов (натуральные логарифмы). Рассмотрим (рис. 1.13) функцию y = , которая не определена на отрезке . Ее область определения (– , –1) (0, + )         20. Производная. Алгебраические свойства.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как пределотношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности можно представить в виде

если существует.

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

·

·

· ^[2]

· ^[3]

·

· …(g ≠ 0)

· (g ≠ 0)