Бесконечно большая последовательность

Определение. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Но не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3,... 1, n,... не является бесконечно большой, так как при A > 1 неравенство не выполняется для с нечетными номерами.

Свойства бесконечно больших последовательностей

1) Если{Xn} – бесконечно большая, то последовательность – бесконечно малая. Если последовательность {α_n} – бесконечно малая, то последовательность – бесконечно большая.

2) Если последовательности {Xn} и {Уn} – бесконечно большие одного знака, то их сумма {Хn + Yn} – бесконечно большая того же знака.

3) Если последовательности {Xn} – бесконечно большая, а последовательность {Yn} – ограниченна, то их сумма {Хn + Yn} – бесконечно большая последовательность.

4) Если последовательности {Xn} и {Yn} - бесконечно большие, то их произведение {Хn * Yn} – бесконечно большая последовательность.

5) Если последовательность {Xn} – бесконечно большая, а последовательность {Yn} – сходящаяся, причем , то их произведение {Хn * Yn} – бесконечно большая последовательность.

6) Если последовательность {Xn} – ограниченная и отделимая от нуля, а {Yn} - бесконечно большая, то их произведение {Хn * Yn} – бесконечно большая последовательность.

7) Если последовательность {Xn} - бесконечно большая и для любого n N имеет место неравенство IXnI<=IYnI (Xn<Yn), то пoследовательность {Yn} тоже является бесконечно большой.

13. Бесконечно малые последовательности

Определение 1: Бесконечно малой последовательностью называется такая последовательность, что для сколь угодно малой окрестности нуля, вне окрестности будет только счетное число элементов последовательности, а в самой окрестности бесконечное число элементов последовательности.

В дальнейшем нам мы будем применять свойства бесконечно малых последовательностей, поэтому перечислим несколько свойств и немного подробнее остановимся на каждом из них.

Свойства бесконечно малых

1) Бесконечно малая последовательность является ограниченной последовательностью.

Действительно, если бы она не была ограниченной, то вне достаточно малой окрестности нуля находилось бы бесконечное множество членов последовательности.

2) Любая конечная(конечное количество операций суммирования) сумма бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.

3) Произведение бесконечно малой последовательности на любую ограниченную последовательность или на любое конечное, отличное от нуля, число есть бесконечно малая последовательность.

4) Линейная комбинация счетного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.